探究高中数学新课程中的向量及其教学

探究高中数学新课程中的向量及其教学17篇 高中数学向量教学设计

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　　向量在高中数学中的应用论文

　　一、向量在解决高中数学问题中的应用

　　向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。

　　另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。而现实过程中学生们掌握的向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。

　　最后，高中数学教材中对于向量的.介绍比较粗略，不能帮助学生更加深入的了解，在一定程度上不能满足学生的学习，种种问题都是影响向量解决数学问题的因素。还有一些教学只重视硬式教学的目标，为了完成教学任务而去教学，不能拓展向量的运用范围，学习的知识比较局限，不利于学生综合能力的培养。

　　二、总结

　　通过对向量的深入了解和学习可以发现向量是一种十分有效的工具，在解决数学问题过程中发挥了重要的作用。只要正确运用就可以提高解决问题的能力。

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　　高中数学新课程中函数设计思路及其教学

　　狄敏

　　摘要：高中数学进行了新课程改革，对改革后的函数教学要整体全面地把握好函数的内容与要求。教师要从各个方面入手加深学生对函数的理解，引导学生自主地去学习函数，了解函数的内在本质。充分利用函数模型，让学生对函数产生兴趣，对函数有一个技巧的掌握。

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　　高中数学新课程教学中存在的问题论文

　　数学新课程教学改革一方面取得了可喜成绩，另一方面也出现了，一些普遍性的问题，正视这些问题有助于教学改革的顺利进行。

　　一、片面课程资源开发导致教学内容泛化

　　课程资源的开发和利用是新课程实施的基本条件，课程资源包括校内课程资源、校外课程资源和信息化课程资源。高中数学课程应该体现数学的文化价值，应该注重信息技术与数学课程的整合，这种整合应该有利于学生认识数学的本质。在传统教学中，教师往往把教材当成了学生学习的唯一对象，教材被绝对化了，教学变成了教书，新课程教学中，教师不再是课本知识的解释者、忠实执行者，而是与专家、学生等一道构建新课程的合作者，对教材进行补充、延伸、拓宽、重组，并注重与社会生活和学生经验的联系和融合，应是数学新课程课堂普遍的现象。

　　但由于对课程资源缺乏认识或经验不足，出现了教学内容泛化现象：

　　1、教材地位被弱化

　　有的教师讲究片面超越教材，过多过早地补充内容，甚至偏离课本而大谈从网上下载资料，教学内容失去了支撑。有的教师片面强调教学与生活的联系，大量补充学生感兴趣的数学生活素材，大量增加乡土文化内容，片面删除了教材中反映现代文明成果和大都市先进科技成果的题材，把“生活世界观”作片面理解。

　　2、为情景而设置情景

　　按照新课程标准，数学教材呈现“问题情景――建立模型――解释运用”的教学模式。这种教学模式要求教师的教学设计从学生的生活实际出发，创造学生熟悉的、喜闻乐见的生活情景或游戏活动，引导学生用数学眼光看待周围的事物，发现问题，培养数学问题意识。组织学生尽可能进行讨论、研究，通过操作、实践、模拟活动等让学生去经历、去感受、去体会，获得大量的直接经验，自主的建构知识，形成数学模型，这对于转变学生的学习方式，培养学生的创新精神和实践能力有着极其重要的意义。但在情景设置时，不少教师情景设置目的不明确，创设的情景只是作为课堂摆设，情景内容脱离实际，设置的形式呆板单一，情景设置不符合学生的年龄特征，滥用多媒体等。

　　3、联系实际变成了装饰

　　紧密联系学生的生活实际，让数学从生活中来到生活中去是数学课程改革的重要策略之一。因此，在教学中应使数学问题生活化、生活问题数学化，加强生活与数学的接轨。教学内容所联系的实际必须是真正的实际，而不是数学的“外衣”。一些课堂上，教师牵强附会地联系实际，反而影响了教学质量。

　　4、搜集和处理信息形式化

　　在数学课堂教学中只要教学涉及到某些知识，教师便让学生收集材料，即使一些简单明了的问题也要收集材料，结果造成学生负担加重。另外，只重搜集而不重视处理和利用，对材料只是在课堂上展示一下而没有加工分析。对教师而言，素材的选择和收集是实现“数学文化”教学目标的前提，也是提高发展自身数学素养的过程。我们在教学中一方面应尽可能收集丰富、广泛的信息和资料，加强与其他学科教帅的合作交流；另一方面，要针对高中数学课程的具体内容作出恰当的选择，使所选择的素材既能符合学生的实际情况，又能实现“数学文化”的数学目标。

　　二、教学过程和教学方式形式化

　　教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程，这是对教学新的完整的界定。教师必须由知识的传授者转变为学生学习的.促进者。改革和丰富教与学的方式，使学生主动地学习，是高中数学课程改革追求的基本理念。在具体实践中出现了形式化问题，表现为：

　　1有合作形式而无合作实质

　　数学新课程倡导学生合作交流，目的是让每个学生都动起米，形成主动学习的愿望，培养积极参与的意识。通过合作学习，让学生学会交流和分享研究的信息、创意及成果，培养他们乐于合作的团队精神。但一些教师片面追求课堂小组合作学习这一形式，对小组合作学习的目的、时机及过程没有认真设计。也有教师在合作学习中只是按照预定的设计，把学生往教学框架里赶，学生之问缺乏沟通和深层次的交流，结果往往是优等生的想法代替了小组其他成员的意见和想法，差生成了陪衬。倡导合作学习不是不要独立思考，独立思考是合作学习的前提。通过合作交流来探讨的问题，必须先引导学生独立思考，充分准备后方可进行。

　　2对话变成问答

　　对话是一种交流方式，它要求改变过去的“传话”和“独白”的方式，走向互动，新课程倡导对话教学是对独白教学的否定，但在教学中不少教师把对话等同于师生问答。

　　3有活动无体验，有温度无深度

　　新课程要求给予学生更多的亲身体验的机会，以丰富感性认识和理性认识。但在教学活动中，有相当部分活动是随意的，缺乏明确目的，学生忙这忙那，却美其名日“动中学”。新课程提倡的活动是操作活动与思维活动的统一，意在引导学生动口、动手、动脑，在体验中获得发展。

　　4板书让位于多媒体

　　多媒体教学生动、形象、感染力强，易于激发学生的兴趣，确实为课堂“增色”不少，但也出现了课堂教学盲目追求电教而不用板书的怪现象，出现了只重视多媒体形式，而轻视其教学实效，只重视学生情绪的积极反映，轻视了学生能力的形成，教师成了电教的播放员。应该认识到多媒体只是教学的辅助手段之一，板书的示范作用是不可缺少的。

　　高中数学新课程教学中出现问题的主要原因是教师对新课程理念的理解出现有偏差，实施者的经验和能力不足，但这并不意味着新课改的方向有问题。

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　　一、高中数学课堂教学策略探讨

　　结合新课程的教学理念，笔者经过多年的思考与探索，认为以下教学策略可以较好地应用在高中数学课堂教学实践中：

　　1．营造气氛，进行探究式教学策略

“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是新课程改革的一个重要方面，要想让学生能积极主动、勇于探索，首先教师必须要营造和谐、轻松的课堂氛围，让学生动起来，变被动为主动，摆脱思想上的束缚，主动参与教师所设置的课堂教学活动中来，在各种教学活动中能够积极思考，踊跃发言，但是，值得注意的是教师要能对课堂进行有效的控制，要做到动而有度，闹而有效．只有在这样的教学环境下才能进行探究式教学，探究式教学是指学生在学习课本知识时，教师通过创设一定的情境或者提出一些问题，让学生自己通过实验、思考、讨论等途径去自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法．因此，教师通过提出问题、设置情境等方式，充分调动学生的主动性和积极性才能最终完成教学目标，达到所要获得的教学效果．如，在学习“二面角定义及其应用”时，教师可以给出几个二面角图形，让学生观察这些二面角，然后提出“什么叫二面角？”“如何求二面角的大小？”等问题，先由学生自主探索，然后小组交流、协商、讨论，最后教师启发性地回答和解决学生的问题．通过这样的探究方式，既可以培养学生积极的思维习惯，也可以帮助学生更深刻地理解和领悟课本知识．

　　2．发挥主体作用，培养学生思维创新策略

　　培养创新思维是当前中学教育的一个重要教学目标，在整个高中教学科目中，高中数学对创新思维的要求十分突出，是学生数学思维能力提高的重要表现．要想培养学生的创新思维，教师在课堂教学中就应给学生更大和更广阔的思维空间，就应培养学生勇于批判，大胆质疑，敢于向权威挑战的习惯和精神．没有批判和怀疑，就很难有创新意识．在传统的课堂教学活动中，教师只是一味地讲授课本知识点，学生被动接受，没有互动，课堂氛围死气沉沉，效率低下．要改变这种状况，培养学生的创新意识，教师应该为学生提供更多的时间与空间，在情境设计、教学和练习安排等过程中，尽可能多地让学生主动参与，让学生成为课堂教学活动的主人，真正实现教师是课堂教学活动的引导者，学生是学习的主体．教师要有意识地设计小组合作和集体讨论等内容，让学生在轻松、自由环境下，畅所欲言，发表自己的意见和见解．同时，开放性和创新型习题，在培养学生创新思维上也有着重要的作用，有利于促进学生打破常规思维，形成新型的思维，突破一个问题和一个标准答案的传统的对应关系，引发学生多角度思考．教师在课堂教学中应设置更多的、能启发学生创新思维的习题，让学生发挥主体作用，通过独立探索来不断优化数学思维品质．如，求过点（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程．这看似简单的习题，但是学生往往容易忽视截距是0的特殊情况，而得不出完全正确的结论．教师在课堂教学中应给学生更多的类似的习题去发挥学生主体作用，培养学生的创新思维．

　　3．联系实际，发展学生数学应用能力策略

　　数学和生活实际有着紧密的联系，数学来源于生活，生活中也处处有数学知识的运用．在高中数学课堂教学过程中，教师应把数学与学生的生活实践结合起来，让学生在体验生活中去理解和感悟数学知识，用数学的眼光去认识和观察客观世界，这样不但有利于提高学生学习数学知识的兴趣和积极性，而且有利于促进学生思维的发展，有利于提高学生应用数学知识的能力．如何将数学和生活实际联系起来呢？笔者认为可以从以下两个方面着手：一方面可通过数学教学实验的形式，让学生自己动手、亲身体验，在体验生活的过程中去学习和理解知识．如，在学习欧拉公式时，教师可以让学生利用橡皮泥塑造出不同的多面体，让学生记录下每个多面体的顶点数、面数和棱角，然后通过归纳、比较、概括等过程得出公式．另一方面，教师可以通过设置各种生活情境，将丰富的生活实例引入所要学习的数学知识．如，在学习指数函数时，教师可以设置这样的生活情境：“把一张厚度是0．1mm的纸，反复对折20次，其厚度是多少？能有你自己的身高高吗？”通过这样的教学方式，不但可以激发学生极大的兴趣和学习、探究知识的动力，更能让学生真实地体会到生活中处处有数学，生活离不开数学，而且培养了学生应用数学的能力．

　　4．利用多媒体，变抽象为形象策略

　　抽象性是数学学科的重要特点，不论是概念、定理、定律，还是计算公式，对于学生来说都显得抽象、难懂，不易掌握，难以理解．随着现代科学技术的不断发展，多媒体在教学中的应用也逐渐普及，多媒体可以利用动画、声音等使抽象的概念、复杂的公式等动态化、形象化，学生可以通过各种感官在动静结合、图文并茂中接受抽象的数学信息．利用多媒体进行课堂教学不但可以大大增加数学知识的信息量，提高教学效率，而且可以让学生不再感到数学知识的枯燥和单调，从而产生强烈的求知欲望．如，在学习三垂线定理时，教师可以以正方体为模型，制作动画，使之转动，得到不同位置的垂线．又如，在学习球、圆锥和圆柱定义时，可以通过制作半圆围绕直径、直角三角形围绕其直角边以及矩形围绕其一边旋转的动画．通过这样的动画模拟，不但可以让枯燥、乏味的数学课堂充满生机和活力，而且可以让学生在视觉体验中，获得感性认识，加深对各种立体图形概念的掌握和理解，起到事半功倍的教学效果．

　　二、结论

　　综上所述，可以得出以下结论：第一，高中数学新课程呼唤新的课堂教学策略．第二，营造气氛，进行探究式教学；发挥主体作用，培养学生思维创新；联系实际，发展学生数学应用能力；利用多媒体，变抽象为形象等，是高中数学新课程课堂教学中行之有效的教学策略．

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　　一、高中数学新课程中的函数设计思路

(一)把函数作为一条主线

　　高中数学新课程中分层设置了函数概念、具体函数模型、函数应用、研究函数的方法四方面的内容。在必修数学中设置了函数概念，指数函数、对数函数、简单幂函数、三角函数、分段函数、数列等具体函数模型及其应用，研究函数的初等方法等内容;选修数学中设置了研究函数的分析方法(导数)等内容;函数的应用以及函数的思想方法贯穿于相关数学内容之中。例如:必修数学中运用函数思想方法处理方程、不等式、线性规划、数列、算法，运用函数解决优化问题，刻画随机变量及其分布问题等。这种设置方式就体现了“以函数为纲”的思想以及函数的统领作用。

(二)突出背景，从特殊到一般引入函数

　　高中数学新课程中，在引人函数概念和具体函数模型时，都注重函数的实际背景，通过对实际背景中的具体函数关系的分析，归纳、抽象出函数概念和函数模型。高中阶段函数概念的引人，一般有两种方法，一种是先学习映射，再学习函数，即从一般到特殊的方法;另一种是通过具体函数实例的分析，归纳总结出数集之间的一种特殊对应关系—函数，即从特殊到一般的方法。例如，对于函数概念，先引导学生梳理已经掌握的具体函数(如，初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数、简单分段函数等)，通过分析这些具体函数的特征，构建函数的一般概念，再由函数概念抽象出映射概念。

(三)提倡运用信息技术研究函数

　　运用信息技术可以呈现函数的直观图像，迅速精确地实施函数运算，通过函数图像和函数运算，可以帮助学生加深对函数所表示的变化规律的理解。信息技术还为运用函数模型解决问题提供了便利。高中数学新课程提倡运用信息技术研究函数。

　　二、高中数学新课程中函数教学建议

(一)整体把握函数的内容与要求，在与函数有关的内容

　　的教学进程中不断加深学生对函数思想的理解。函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念，在这个概念下可以派生出许多不同层次的具体函数。学生对于这种多层次的抽象概念的理解是需要时间和经验积累的，需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，灵活运用。因此，函数教学应整体设计，分步实施。教师应整体规划整个高中阶段函数的教学，对函数教学有一个整体的全面的设计，明确不同时段、不同内容中学生对函数理解应达到的程度，在与函数有关的内容的教学进程中，通过运用函数不断加深学生对函数思想的理解。

(二)关注认识函数的三个维度，引导学生全面理解函数的本质

　　第一，函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，即变量说。在现实生活和其他学科中，存在着大量的变量和变量之间的依赖关系。例如:邮局收取邮资时，邮资(变量)随着邮件的重量(变量)的变化而变化。这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。基于这种认识，就可以用函数来表示和刻画自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角，也是数学联系实际的基础。第二，函数是连接两类对象的桥梁，即映射说。对函数的这种认识反映了数学中的一种基本思想，在数学的后续学习中具有基础作用。数学中的许多重要概念都是这种认识的推广和拓展。例如，代数学中的同构、同态是构架两个代数结构的桥梁，拓扑学中的同胚也是构架两个拓扑结构的桥梁等。第三，函数是“图形”，即关系说。函数关系是平面上点的集合，因而可以看做平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的变化、曲线的性质。基于这种认识，函数可以看做数形结合的载体之一。实际上，解析几何、向量几何、函数是高中数学课程中数形结合的三个主要载体。

(三)重视函数模型的作用，帮助学生在头脑中“留住”一批函数模型

　　理解函数的一个重要方法，就是在头脑中“留住”一批具体函数的模型。那些优秀的数学工作者，对于每一个抽象的数学概念，在他们的头脑中都会有一批具体的“模型”。这是很好的数学学习的习惯。高中数学课程中有许多基本函数模型，高中数学教学的重要任务之一就是把这些基本函数模型留在学生头脑中，这些模型是理解函数和思考其他函数问题的基础。在教学中，对于上述基本函数模型应有一个全面的设计，要帮助学生在头脑中留下三方面的东西:第一，背景，即要熟悉这些函数模型的实际背景，从实际背景的角度把握函数;第二，图像，即从几何直观的角度把握函数;第三，基本变化，即从代数的角度把握函数的变化情况。只有在学生头脑中“留住”这样一批具体的函数模型，才能逐步实现对函数本质的理解，并灵活运用函数思考和解决问题。

(四)揭示函数与其他内容的内在联系，强化学生对函数思想的认识

　　函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数图像与轴交点的横坐标，解方程就是求函数的零点的横坐标，从而，解方程问题可以归结为研究函数局部性质的问题，即研究函数图像与x轴的交点问题。这样，如果一个函数在闭区间[a,b]，习上连续，且端点函数值异号，即，则就可以运用二分法求方程的近似解。还可以用切线法(函数在闭区间有一阶导数)、割线法(函数在闭区间有二阶导数)等求方程的近似解。在坐标系中，函数的图像把横坐标轴分成若干区域。一部分是函数值等于0的区域，即;另一部分是函数值大于0的区域，即;再一部分是函数值小于0的区域，即。用函数的观点看，解不等式就是确定使函数的图像在x轴上方或下方的的x区域。这样，就可以先确定函数图像与x轴的交点(方程的解)，再根据函数的图像来求解不等式。

　　作者：赵淑云 工作单位：甘肃省山丹县第一中学

探究高中数学新课程中的向量及其教学6

　　在新课程中的数学教学把函数作为非常重要的一个部分，可与说是贯穿我们整个高中数学学习的一条主线。我们对函数进行了新的、比较系统的处理，准确地掌握函数在数学中的定位，适应函数学习中的具体要求，和我们在处理函数问题上的创新的方法，对我们理解函数都起着重要的作用。

　　一、高中数学新课程中函数的设计思路

　　我们改变了传统的对函数的设计思路，不让学生去做题型，而是使函数成为一条主线，以函数为基本来学习数学。不死学函数，而是由简单到复杂地把函数引进课堂，让学生通过具体的函数模型对函数有一个全面、深刻的认识。

　　例如，我们对三角函数进行教学的时候，在设计课件的时候可以采取这样的授课方式：先对一般的三角函数如sin（2kπ＋α）＝sinα做必要、详尽的讲解，然后以此为基础，对sin的其他函数进行类

　　推，让学生自己动手，让他们对三角函数有一个自己的理解，然后我们再对课程进行详细具体的讲解。这样既达到了有效授课的目的，又有利于学生对三角函数的记忆和运用。有一个好的设计思路对高中函数来说是非常必要的。

　　二、高中数学新课程中函数的教学方法

　　在教学的过程中对函数进行全面的讲解，让学生对函数有一个整体的理解和把握，在教学过程中让学生逐渐地对函数进行解读。这样我们的教学效果就达到了一个程度，也让学生对函数有了很好的.掌控。下面我们将举例对函数的教学方法进行分析。

　　例如，我们对高中复合函数进行授课的时候，要对复合函数进行一个循序渐进的认识，不能直接把复合函数的定义等进行直接的解读，我们要以提问的方法从初中所学习过的函数进行分析，进而引出我们所要学习的复合函数，这样的讲授不仅不会显得突兀，而且会加深学生对复合函数的理解。有一个好的教学方法，对于高中函数的教学是非常重要、有利的。

　　高中函数的学习是高中学习过程中非常重要的一部分，它是一个重点也是一个难点，所以最重要的是要保证函数教学的有效性，让学生对函数能够全面的理解。因此，我们要绝对重视高中函数的教育，把握好函数的设计思路和教学方法，让函数成为高中数学教学过程中的点睛之笔。

　　参考文献：

［1］王祥。高中函数教学的创新思路与方法探讨［J］。社会科学期刊，（10）。

［2］陈新春。如何教好高中数学三角函数［J］。社会科学期刊，（02）。

（作者单位浙江省温岭市第二中学）

探究高中数学新课程中的向量及其教学7

　　各位教师：

　　今天我说课的题目是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课 《向量的加法》，我从以下几个方面阐述本课的教学设计，

　　一、教材分析：

《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础;其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。

　　二、学情分析：

　　学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。

　　三、教学目的：

　　1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。

　　2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。

　　3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。

　　四、教学重、难点

　　重点：向量的加法法则。探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。

　　难点：对三角形法则的理解;方向相反的两个向量的加法。主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。

　　五、教学方法

　　本节采用以下教学方法：1、类比：由数的加法运算类比向量的加法运算。2、探究：由力的合成引入平行四边形法则，在法则的运用中观察图形得出三角形法则，探求共线向量的加法，发现三角形法则适用于任意向量相加;通过图形，观察得出向量加法满足交换律、结合律等，这些都体现探究式教学法的运用。3、讲解与练习：对两个法则特点的分析，例题都采取了引导与讲解的方法，学生课堂完成教材中的练习。4、多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。

　　六、数学思想的体现：

　　1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。

　　2、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。

　　3、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而三角形法则仅适用于不共线向量相加。③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。

　　七、教学过程：

　　1、回顾旧知：本节要进行向量的平移，且对向量加法分共线与不共线两种情况，所以要复习向量、相等向量、共线向量等概念，这些都是新课学习中必要的知识铺垫。

　　2、引入新课：

(1)平行四边形法则的引入。

　　学生在物理学中虽然接触过位移的合成，但是并没有形成三角形法则的概念;而对平行四边形法则学生已学过，很熟悉。所以我决定由力的合成引入向量加法的平行四边形法则。平行四边形法则的特点是起点相同，但是物理中力的合成是在有相同的作用点的条件下合成的，引入到数学中向量加法的平行四边形法则，所给出的图形也是现成的平行四边形，而学生刚学完相等向量，对相等向量的概念还没有深刻的认识，易产生误解：表示两个已知向量的有向线段的起点必须在一起才能用平行四边形法则，不在一起不能用。这时要通过讲解例1，使学生认识到可以通过平移向量，使表示两个向量的有向线段有共同的起点。这一点对理解及运用法则求两向量的和很重要。

　　设计意图：本着从学生最熟悉、离学生最近的知识经验为接入点，用学生熟知的方法来解决新的问题——向量的加法，这样新中有旧，学生容易接受，也使学科间的渗透发挥了作用，加深了学生对向量加法的平行四边形法则的“起点相同”这一特点的认识，例1的讲解使学生认识到当表示向量的有向线段的起点不在一起时，须把起点移到一起，至此才能使学生完成对平行四边形法则理解真正到位。

(2)三角形法则的引入。三角形法则没有按照教材中利用位移的合成引入，而是从前面所讲的平行四边形法则的图形中直接引入(如图)，

　　所以这种把两个向量相加的方法称为三角形法则。接下来用幻灯片完整展示三角形法则，同时法则的作法叙述、作图过程对学生也起到了示例的作用。于是前面的例1还可以利用三角形法则来做。

　　这时，总结出两个不共线向量求和时，平行四边形法则与三角形法则都可以用。

　　设计意图：由平行四边形法则的图形引入三角形法则，可以很清楚地使学生从向何意义上认识到两个法则之间的密切联系，理解它们的实质，而且衔接自然，能够使学生对比地得出两个法则的特点与实质，并对两个法则的特点有较深刻的印象。

(3)共线向量的加法

　　方向相同的两个向量相加，对学生来说较易完成，“将它们接在一起，取它们的方向及长度之和，作为和向量的方向与长度。”引导学生分析作法，结果发现还是运用了三角形法则：首尾相接，方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

　　方向相反的两个向量相加，对学生来说是个难点，首先从作图上不知道怎样做。但是学生学过有理数加法中的异号两数相加：“异号两数相加，用较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的数的符号。”类比异号两数相加，他们会用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。具体做法由老师引导学生尝试运用三角形法则去做，发现结论正确。

　　反思过程，学生自然会想到方向相同的两个向量相加，类似于同号两数相加。这说明两个共线向量相加依然可用三角形法则。对

　　有如下规定：

+

=

+

=

　　通过以上几个环节的讨论，可以作个简单的`小结：两个不共线向量相加，可采用平行四边形法则或三角形法则，而两个共线向量相加在本课所学方法中只能用三角形法则，说明三角形法则适用于任意两个向量相加。

　　设计意图：通过对共线向量加法的探讨，拓宽了学生对三角形法则的认识，使得不同位置的向量相加都有了依据，并且采用类比的方法，使学生对共线向量的加法，尤其是方向相反的两个向量的加法更易于理解，可以化解难点。

(4)向量加法的运算律

①交换律：交换律是利用平行四边形法则的图形，又结合三角形法则得出，理解起来没什么困难，再一次强化了学生对两个法则特点及实质的认识。

②结合律：结合律是通过三个向量首尾相接，先加前两个再与第三个向量相加，和先加后两个向量再与第一个向量相加所得结果相同。

　　接下来是对应的两个练习，运用交换律与结合律计算向量的和。

　　设计意图：运算律的引入给加法运算带来方便，从后面的练习中学生能够体会到这点。由结合律还使学生发现，多个向量相加，同样可以运用三角形法则：将所加向量首尾相接，和向量的方向是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。这样使学生明白，三角形法则适用于任意多个向量相加。

　　3、小结

　　先由学生小结，检查学生对本课重要知识的认识，也给学生一个概括本节知识的机会，然后用课件展示小结内容，使学生印象更深。

(1)平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。

(2)三角形法则首尾相接，适用于任意多个向量的求和。

(3)运算律

　　交换律：

+

=

+

　　结合律：(

+

)+

=

+(

+

)

　　4、作业：P91，A组1、2、3。

《向量的加法》评课稿

　　本节所授内容基本与原先设想一致，评略得当，重点突出，难点化解。在两个加法则的引入、讲解及运用的处理方法、时间安排都把握得比较好，能够引导学生积极主动地探索平行四边形法则和三角形法则，使学生对两个加法法则形成了正确的认识，留下了深刻的印象，通过反馈练习，可以看出学生对两个法则的运用掌握的比较好，比较完整地实现了教学目标。

　　本节课的教学方法运用比较合理：采取了类比、探究、讲练结合及多媒体技术等多种方法。对数学课来说，本节课最显著的特点是将全部板书都移到了课件上，对我来说，是一次尝试，因为以前，我认为数学课没必要用课件，对全部利用课件上课更是不能接受。但是这次讲课改变了我的看法。从学生的反馈情况来看，这样处理对教学效果没有什么不良影响，反而使学生能更直观地理解两个加法法则和运算律，通过课件中的向量的平移，加深了学生对上节课所学的“相等向量”的概念的理解，也加大了课堂容量，还没有拥挤之感。从学生对内容小结的叙述看，没有板书，并没有妨碍本节内容在学生脑海中留下的印象。原先的设计中，板书设计也有，打在教案的后面。

　　通过这节课的讲授，我收获很多：首先，从课程的构思上，没有按照教参建议及网上普遍的编排方法先讲三角形法则，而是先由学生学过的力的合成引入了平行四边形法则，由此又引入三角形法则，效果也不错。可见，对教材的处理确实要根据学生情况，灵活裁剪，不能生搬硬套。

　　其次，通过这节课我感到，对有些与图形联系较多的课程，使用课件讲解简便易行，关键是要根据教学设计制作合适的课件，并且合理使用。

　　本节缺憾也很多。首先，学生活动还是偏少，没有充分、全面地调动学生热情。其次，语言不够精炼，有时比较嗦，也耽误了时间，第三，学生发言时，好打断学生，总觉得学生说得不清楚，抢学生话头，打击了学生课堂参与的积极性，很不好。

　　以上是我对这节课的反思，不到之处，请大家指点。

探究高中数学新课程中的向量及其教学8

　　一、高中数学向量教学价值分析

　　向量具有重要的教学价值，在数学、物理以及现代科学等各领域都有重要的应用。在数学中，向量是一个非常重要的工具，向量能够对位置进行准确的刻画。同时，向量不仅是几何的对象，还是代数的对象，不仅可利用向量进行数学运算，同时还可刻画切线、平面、面积以及体积等几何对象与度量。此外，还可利用向量求距离与夹角等。在物理中，向量的原型即为矢量，向量能够准确地刻画加速度、位移、力等物理量，具有较强的实际意义。在现代科技领域，向量被广泛地运用于飞船设计以及卫星定位等方面。

　　二、高中数学新课程向量教学的注意事项

　　1.在向量教学中，要兼顾其代数性质与几何意义

（1）注重向量的代数性质

　　向量的代数性质主要体现在运算意义以及运算律上，在实际的向量教学中，老师要注意引导学生总结数学运算律。例如，在苏教版数学必修四的向量与实数乘积的运算中，老师要采取适当方法引导学生总结向量与实数的数乘运算满足的运算结合律λ（μ）a=

（λμ）a以及第一与第二分配律等，让学生在掌握各运算律的基础上，了解线性空间的性质，了解数学运算律对于向量运用的意义。

（2）注重向量的几何意义

　　利用向量来刻画几何对象是向量代数性质几何意义的重要体现。例如，mn=0的几何意义体现为向量m与向量n两者是垂直的，从而将向量的代数运算有效地与其位置关系相联系，进而将其与直线的关系相联系。再如，mm的几何意义表现为向量m长度的平方，从而将向量长度与其数量积运算进行联系。因此，在高中数学新课程的向量教学中，老师应重点引导学生将向量的几何意义以及向量代数运算展开联系，帮助学生更好地理解向量数量积的几何意义，从而更好地利用向量代数性质对几何对象进行刻画，让学生能够深刻体会几何与代数两者间的联系。

　　2.在向量教学中，要注重丰富其物理背景

　　向量有着丰富的物理背景，老师在高中数学的向量教学中要注重突出这些物理背景，使学生更全面地了解向量。物理量如速度、位移以及力等都是向量的原型，它们与日实际生活联系紧密，在教学中老师要充分利用这些现实背景。例如，在对苏教版必修四的《向量的加法运算》进行教学时，老师可通过直观的位移合成背景的方式导入向量加法运算。如，假设某一物体从L位移到M，接着从M位移到N，那么从L到N的位移就为这两次位移的结果，将这个确定的总位移视作前两位移之和是自然的，以此导入向量的加法及其三角形、平行四边形法则。再如，可运用速度或位移的倍数为背景引入向量与数的`乘积运算；运用力做功作为背景引入向量的数量积运算。老师可先为学生创设情境问题如：在物理学中，某一物体在其所受的F力下，在F力方向上产生位移S，那么力F对物体做功为多少呢？然后引导学生进行如下探讨：

（1）F与S方向相同时，功的大小为：FS；

（2）力F与位移S两者产生θ角时，那么F与S方向一致的分力为F1，则F1=Fcosθ，那么该物体在分力F1的方向上有位移S产生，那么此时物体做功为：FScosθ。

　　在这一教学过程中，老师要让学生明白，物体所做的功是由力与位移两个向量决定的，向量的数量积意义就体现于此。

　　3.在向量教学中，要注重其在数学以及其他科学中的应用

　　数学中，向量应用广泛，它既可刻画几何对象以及几何度量的问题，又可以表示重要不等式、三角函数等。例如，ab≤ab是向量数量积中的一个重要的不等式，运用该不等式的关系还可对数学中许多不等式进行证明。又如，在对三角函数进行定义时，可运用向量数量积进行定义。例如，某平面上存在两个标准正交基e1与e2，a则是这一平面上的向量，标准正交基e1与向量a产生的夹角为α，那么三角函数的定义为：。在现代科技领域中，向量还被广泛应用于设计与操控机器人、设计飞船等。

　　综上所述，向量无论是在数学、物理，还是在现代科学技术领域都有广泛的应用。因此，在高中数学新课程向量教学时，老师要准确对向量定位，并在教学中要注重体现其代数性质以及几何意义，并着重突出其物理背景，关注它在各领域的应用，全面体现向量的教学价值。

　　参考文献：

［1］葛志强。向量与导数在教学中的应用［J］。试题与研究：新课程论坛，.

［2］高后运，杨华。例谈高中数学教学［J］。中国科教创新导刊，2012.

［3］赵燕。高中数学新课程中向量及教学［J］。小作家选刊：教学交流，.

［4］刘秀梅。浅议高中数学向量教学［J］。中华少年：研究青少年教育，2012.

（作者单位江苏省徐州市沛县中学）

探究高中数学新课程中的向量及其教学9

　　教学目的：

　　1 掌握平面向量数量积运算规律;

　　2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;

　　3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题

　　教学重点：平面向量数量积及运算规律

　　教学难点：平面向量数量积的应用

　　授课类型：新授课

　　课时安排：1课时

　　教 具：多媒体、实物投影仪

　　内容分析：

　　启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 

　　教学过程：

　　一、复习引入：

　　1.两个非零向量夹角的概念

　　已知非零向量 与 ，作 = ， = ，则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角

　　2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos?叫 与 的数量积，记作 ? ，即有 ? = | || |cos?，

(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0

　　3.“投影”的概念：作图

　　定义：| |cos?叫做向量 在 方向上的投影

　　投影也是一个数量，不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为0;当? = 0?时投影为 | |;当? = 180?时投影为 ?| |

　　4.向量的数量积的几何意义：

　　数量积 ? 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos?的乘积

　　5.两个向量的数量积的性质：

　　设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量

　　1? ? = ? =| |cos?;2? ? ? ? = 0

　　3?当 与 同向时， ? = | || |;当 与 反向时， ? = ?| || |

　　特别的 ? = | |2或

　　4?cos? = ;5?| ? | ≤ | || |

　　6.判断下列各题正确与否：

　　1?若 = ，则对任一向量 ，有 ? = 0 ( √ )

　　2?若 ? ，则对任一非零向量 ，有 ? ? 0 ( × )

　　3?若 ? ， ? = 0，则 = ( × )

　　4?若 ? = 0，则 、 至少有一个为零 ( × )

　　5?若 ? ， ? = ? ，则 = ( × )

　　6?若 ? = ? ，则 = 当且仅当 ? 时成立 ( × )

　　7?对任意向量 、 、 ，有( ? )? ? ?( ? ) ( × )

　　8?对任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )

探究高中数学新课程中的向量及其教学10

　　平面向量

　　基本知识回顾：

　　1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：

????

①用有向线段表示-----AB(几何表示法);

??

②用字母a、b等表示(字母表示法);

③平面向量的坐标表示(坐标表示法)：

???

　　分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平

　　面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj，(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特

?

???

　　别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。a?

?

??

?

　　A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

　　AB?

?x2?x1,y2?y1?，

　　AB?

　　3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为0;

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量)

　　4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;

?

②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

???

　　0,b与a同向方向---?

?性质：a//b(b?0)?a??b(?是唯一)????0,b与a反向 ???

　　长度---|a|??b??

??

　　A//b(b?0)?x1y2?x2y1?0 (其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2))

　　5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

?

②垂直向量——两向量的夹角为??

　　2

　　性质：a?b?a?b?0

　　A?b?x1x2?y1y2?0 (其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2))

　　6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：

　　AC?a?b(起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形)

　　DB?a?b

?加法???首尾相连

　　三角形法则?

?减法???终点相连,方向指向被减数

???

——加法法则的推广： ABn?AB1?B1B2????Bn?1Bn

　　即n个向量a1,a2,??an首尾相连成一个封闭图形，则有a1?a2????an?0 ??

②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a ?b= a+ (?b); ??

??

　　差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a? b

????

③平面向量的坐标运算：若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，???

　　A?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)。

④向量加法的交换律：a+b=b+a;向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) ⑤常用结论：

????1??

(1)若AD?(AB?AC)，则D是AB的中点

　　2

?

(2)或G是△ABC的重心，则GA?GB?GC?0

　　7.向量的模：

　　1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB|

　　2、模的求法：

?

?

　　若 a?(x,y)，则 |a|?

????

　　若A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 |AB|?

　　3、性质：

??2??2

(1)|a|?a; |a|?b(b?0)?|a|2?b2 (实数与向量的转化关系)

????

　　2

(2)a?b?|a|?|b|2，反之不然

(3(于:高中平面向量教学设计))三角不等式：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

(4)|a?b|?|a||b| (当且仅当a,b共线时取“=”)

　　即当a,b同向时 ，a?b?|a||b|; 即当a,b同反向时 ，a?b??|a||b|

(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

　　222

　　即2|a|?2|b|?|a?b|?|a?b|2

　　8.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa (1)|λa|=|λ||a|;

(2)λ>0时λa与a方向相同;λ<0时λa与a方向相反;λ=0时λa=0; ?

??

(3)运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

　　交换律：a?b?b?a;

　　分配律：(a?b)?c?a?c?b?c

(?a)2b=?(a2b)=a2(?b);

——①不满足结合律：即(a?b)?c?a?(b?c)

?2

　　A

②向量没有除法运算。如：a?b?c?b?a?c，?

　　A?b

?a

　　都是错误的 b

??

(4)已知两个非零向量a,b，它们的夹角为?，则 ????

　　A?b =|a||b|cos?

　　坐标运算：a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2

(5)向量AB?a在轴l上的投影为：

????

︱a︱cos?， (?为a与n的夹角，n为l的方向向量)

???a?n?n

?(为n的单位向量)

　　|n||n|

　　其投影的长为AB

//

????

(6)a与b的夹角?和a?b的关系：

????

(1)当??0时，a与b同向;当???时，a与b反向

?a?b?0?a?b?0

(2)?为锐角时，则有???; ?为钝角时，则有??? ??

???a,b不共线?a,b不共线

　　9.向量共线定理：

???

　　向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=

λa。

　　10.平面向量基本定理：

　　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。

(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一，关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。

　　向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=(x,y);当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1) 11. 向量a和b的数量积。

探究高中数学新课程中的向量及其教学11

　　1高中数学教学语言的概念以及分类

　　在传授学生知识、发展学生的智力、提升学生的品质等这些活动中所使用的语言就称之为教学语言。教师以教学为目的，以教学任务为目标，以学生为特定的教学对象，使用国家规定的教材和有效的教学方法。教学语言是教师的专业语言，是教师必须掌握的一项技能。随着计算机技术的发展，各种先进的教学技术也应用在课堂教学当中，如多媒体技术的课堂中的应用，可以增加课堂的趣味性，但是不论教学中采用了多么先进的技术，其教育语言在课堂教学中仍然具有重要的作用，高中数学的教学语言就是高中教师在课堂上传递知识，和学生沟通所使用的语言，通过这种交流学生既获得了知识，又增进了师生间的感情。课堂上的教学语言分为引导语、讲授语、提问语、评论语、节课语五部分。

　　2高中教学存在的问题

　　学生认为高中数学老师在教学的过程中，为了完成教学目标和计划，经常忽视了学生的自我思考的能力，没有巧妙的运用引导语，教学方式单一，直接把结果告诉学生，进行机械式的教育，对于一些公开课，都是教师提前布置和策划的，多半为虚假合作和展示。这样的教学方式和教学局面，学生感觉很痛苦，而教师也感觉很累，学生不能全面发展，与课程改革的精神不相符，因此，为了达到良好的教学目标，就要彻底改变教学观念，要积极运用教学语言，创造幽默风趣的课堂范围。

　　3高中数学教学语言艺术性运用

　　高中数学课的教学语言分为引导语、讲授语、提问语、评论语、节课语五种类型。

　　3.1引导语的应用

　　引导语就是高中数学教师上课之前所讲的话，引导课具有以下几方面的功能：激发学生的对数学的学习兴趣，对可课堂上要讲解的下部分内容产生好奇心，引导他们快速进入课堂学习状态。引导语要有针对性、启发性、简洁、趣味性和新颖性，培养学生的课堂情感，激发他们的学习兴趣和学习激情，活跃课堂的紧张氛围，比如，数学教师在讲授余弦函数的时候，可以把余弦函数和正弦函数的共同点放在一起，通过分析对比，回顾指导，激发学生的学习兴趣，这样既回顾了旧知识，又让学生对新知识产生了兴趣。

　　3.2讲授语的应用

　　讲授语是教师在给学生讲授数学知识过程中所运用的语言，数学教师要利用讲授语把数学课的知识要点和逻辑性给学生解释清楚讲明白，培养学生的逻辑思维和认知能力，形成自己思考问题的独特方法。讲授语要简明，并且通俗易懂，可以多对学生进行提问，培养他们独特的思维能力，其运用的方法则主要有比喻法和诙谐漫画法。比如教师在讲授正弦函数时，可以画一些漫画，形象的描述出正弦函数的对称轴、周期、定义域和值域等，吸引学生的注意力，在讲授的过程中还可以结合一些具体的身边事例，深入浅出的引导学生，增强他们的学习信心。

　　3.3提问语的应用

　　提问语就是把教师在课堂上要掌握学生的学习程度，与学生交流的一种手段。老师把所讲授的知识衔接到一起，把课堂上的一些重点和难点对学生进行提问，通过提问的方式可以启发学生的思维，加深对重点知识的印象。提问语要描述清楚，把握时机，适时发问。教师在课堂上提问的次数应该适度，不宜过多，在提问时，可以适时引导学生，让他们积极思考，给他们充足的时间考虑，吸引同学的注意力，如果学生回答对了，可以增强他们的信心，激发他们的学习兴趣。比如在讲函数时，可以让同学们把所有函数的特点总结到一起，然后进行提问，每个同学回答一部分，集思广益，这样同学就会对函数的知识点就会有一个系统的掌握。

　　3.4评论语的应用

　　评论语就是教师根据学生在平时的表现和考试的分数，对学生的一些评价性语言。有的同学在课堂上面认真听讲，表现积极，有的同学注意力不集中，无视老师的存在，而无论哪种表现，教学都要对学生进行评论，引导他们的学习态度。评论语一定要客观准确，具有针对性，并且要以激励引导为主，评论语有幽默评论语、个性评论语、情感真挚的评论语等。教师要根据学生的具体情况，适时的给予评价，既可以鼓励学生，又可以客观地指出学生的不足之处，引导他们向正确的方向发展，评论语的感情一定要真挚。

　　3.5结束语的应用

　　结束语就是在课堂的最后环节，对这堂课进行的总结性的语言，数学课的结束语要总结这节课的重点内容，点面俱到、思路清晰，巩固学生所学的知识，把课堂上的知识巧妙的和社会实践相结合，增强他们的应用意识。结束语还要安排对下一节课所要讲的内容，激起同学进一步学习的愿望。

　　4结语

　　由于高中数学的知识点比较抽象，不容易理解，教师在课堂上应该应用艺术性的教学语言，如引导语、讲授语、提问语、评论语、结束语等，增加课堂的活跃度，养成同学勤于思考的习惯，启迪他们的思维，提高教学效果。

　　作者：朱雪莲 工作单位：江西省九江市第六中学

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探究高中数学新课程中的向量及其教学12

　　高中数学新课程中的向量及其教学论文

　　摘要：向量具有丰富的物理背景，向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。在高中数学中学习向量有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系，理解数学运算的意义及价值，发展运算能力，掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想，增进对数学本质的理解。向量的教学应突出物理背景，注重向量的代数性质及其几何意义，关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。

　　关键词：数学新课程；向量；教学

　　向量是高中数学新课程中的重要内容。《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中，在必修课程（数学4）、选修课程（系列2—1）中分别设置了平面向量与空间向量的内容。笔者在新课程教师培训和实验区听课中了解到，相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证明。因此，对于向量教学的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用，向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧上。本文试图对高中数学新课程中向量内容的定位、向量的教育价值以及向量教学中应注意的几个问题做一探讨。

　　一、对向量的认识

　　向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20世纪初被引入中学数学。我国在高中数学教学大纲中引入了向量。这次，《标准》中也设置了向量的内容。高中数学新课程中之所以设置向量的内容，是基于以下几方面的认识。

（一）向量具有丰富的物理背景

　　矢量是物理学研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。如，力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是矢量。这些量贯穿于物理学的许多分支，都是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。

（二）向量是几何的研究对象

　　物体的位置和形状是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置，也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。

（三）向量是代数的研究对象

　　运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行加、减、数乘、数量积（点乘）、向量积（叉乘）等多种运算，这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构，使得向量具有一系列丰富的性质。向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象。

（四）向量是沟通代数、几何的桥梁

　　向量作为有向线段，可用来确定位置。但要用向量刻画几何图形的性质，解决几何中的长度、角度等度量问题只有有向线段是不够的，必须通过向量的代数运算才能实现。如，利用向量的数乘运算可以刻画平行，利用向量的数量积运算可以刻画垂直、角度、三角函数等。因此，向量集数、形于一身，是数形结合的最好体现，沟通了代数、几何、三角。

（五）向量是重要的数学模型

　　用V表示向量的集合，则V对于向量的加法运算构成交换群。（V、R）对于V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的乘法（数乘）运算构成线性空间。V中向量的数量积运算可以刻画向量的长度，给V中的向量赋以长度后，（V、R）对于向量的加法、实数与向量的乘法运算构成线性赋范空间。群、线性空间、线性赋范空间都是重要的数学模型，也是抽象代数、线性代数、泛函分析的重要研究对象。因此，向量为理解抽象代数、线性代数、泛函分析提供了基本的数学模型。

　　二、向量的教育价值

（一）有助于学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系

　　向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。向量也是刻画物理量──力、位移、速度、加速度等的数学工具，它体现了数学与物理的天然联系。力、位移、速度、加速度这些物理量在实际生活中是随处可见的。因此，向量的学习，有助于学生认识数学与实际生活以及物理等学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。

（二）有助于学生理解数学运算的意义及价值，发展运算能力

　　向量作为代数对象，可以进行运算。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等是数学中的基本运算。从数运算，字母、多项式运算到向量运算，是运算的一次飞跃。数运算、多项式运算都是A×A→A型的代数运算，数与多项式的运算属于A×B→B型的代数运算，而向量运算除了前两种类型的运算，还有数量积运算，它属于A×A→B型的代数运算。向量的数量积运算可以刻画向量的长度，从而使得我们可以通过向量的代数运算刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量运算更加清晰地展现了不同类型的代数运算的特征及其功能，同时，向量运算具有与数运算不同的一些运算律，这对于学生进一步理解其他数学运算、发展学生的运算能力具有基础作用。向量的学习，有助于学生进一步体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，为理解函数、映射、变换运算，矩阵运算等奠定了基础。

（三）有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合思想

　　向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实现的。因此，向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的工具。向量集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁。向量的学习，有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合的思想。

（四）有助于增进学生对数学本质的理解

　　向量是重要的数学模型，它来源于力、位移、速度等现实原型。向量及其运算构成的数学系统又为群、线性空间、线性赋范空间等抽象数学系统提供了原型。向量的运算使得向量的集合具有特定的数学结构。如，引入向量的加法后，向量连同其加法运算一起构成群结构；引入数与向量的乘法后，向量连同加法、数乘运算一起构成线性空间结构；引入向量的数量积运算后，向量连同加法、数乘、数量积运算一起构成线性赋范空间结构。群、线性空间结构是典型的代数结构。向量的数量积运算，可以赋予向量以长度，从而产生一种拓扑结构。线性赋范空间是代数结构与拓扑结构交叉形成的一种数学结构。正是由于这种数学结构，才使得运用向量的运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题成为可能。因此，向量的学习有助于学生认识数学概念形成过程中的多层次抽象性以及数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质。

　　三、向量教学应注意的问题

　　基于高中数学新课程中对向量的定位以及对向量教育价值的分析，向量教学中应注意以下几个问题。

（一）突出物理背景

　　向量具有丰富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，这些物理量是学生在日常生活中能够经常感受到的，这为理解向量的概念、向量的运算提供了直观、现实的背景。在教学中，应注重突出向量的这些物理背景。例如，在引入向量的加法运算时，可以位移的合成为背景，这种方式比较直观。假设一个人从A位移到B，再从B位移到C，则这两次位移的结果就产生了从A到C的位移（如图1），这个位移是两次位移确定的总位移，把它看成前两个位移的和是自然的。这就引入了向量的加法以及加法的三角形法则。有了三角形法则很容易引出平行四边形法则。在引入数与向量的乘法运算时，可以位移的倍数或速度的倍数为背景。位移与速度的倍数仍然表示位移与速度，这样可使学生对于数与向量的数乘运算的结果仍然是一个向量有直观的认识。在引入向量的数量积运算时，可以力做的功为背景。一个物体受到力F的作用，如果在力的作用方向上发生一段位移S，我们就说这个力对物体做了功。如果力F的方向与位移S的方向相同，则功的大小就等于力F的大小与位移S大小的乘积，即│F‖S│。如果力F的方向与位移S的方向成θ角（如图2），则与位移S方向相同的分力为F1＝Fcos θ，物体在力F1的方向上产生了位移S，因而对物体做的功为│F‖S│cos θ。总之，力所做的功是一个标量，它是由两个向量──力和位移所决定的，这正是向量的数量积的意义。在引入向量的一些运算律时，也可以力做功为背景。当力扩大λ倍时，力所做的功也相应扩大λ倍，两个力的合力所做的功等于这两个力分别所做的功的和。由此可引出，向量的数乘运算与数量积运算满足结合律：（λa）b＝λ（ab），向量的数量积运算对于向量的加法运算满足分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。

　　图 1 图 2

（二）注重向量的代数性质及其几何意义

　　向量的代数性质主要表现在向量的运算及其运算律方面。运算是贯穿于中学数学中的一条主线，学生最先学习的运算是数的运算，向量的运算与数运算既有联系又有区别。例如，向量的加法运算与数的加法运算从代数运算的角度看是一致的，都是A×A→A型的运算。但是，向量的加法运算的法则是三角形或平行四边形法则，这与数的加法运算的法则不同。向量的数乘运算不同于数的乘法运算，它扩展了运算的对象与运算的类型，属于A×B→B型的运算。向量的数量积运算也不同于数的乘法运算，它是A×A→B型的运算。

　　在向量的教学中，应关注运算的意义和运算律。运算与运算律赋予向量集特定的结构，产生群、线性空间、线性赋范空间等不同的数学模型。例如，向量集V对于向量的加法（＋）运算满足结合律、交换律、有零元（存在零向量）、有负元（每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量），这是构成交换群的基本性质；V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的数乘运算满足数乘对向量加法的分配律（λ（a＋b）＝λa＋λb）、数乘对数加法的分配律（（λ＋γ）a＝λa＋γa）、数乘运算的结合律（（λγ）a＝λ（γa））等，这是构成线性空间的基本性质。在教学中，应引导学生在具体运算的基础上总结这些运算律，认识这些运算律对于研究向量和运用向量解决问题以及建构数学体系的重要意义。

　　在向量的教学中，特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与数的乘法运算的区别与联系，应将向量的运算及运算律与数的运算及运算律进行比较，帮助学生理解向量运算的意义及其运算律，为进一步理解其他代数运算奠定基础。例如，对于数运算来说，0是唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“单位元”。对于向量的'加法运算来说，零向量0也是唯一的加法“零元”，对于任何向量a，0＋a＝a。但是向量的数乘运算与数量积运算则具有不同于数运算的运算律：对于任何向量a，0a＝0，1a＝a，0a＝0。虽然也有单位向量的概念，但单位向量不是数量积运算的单位元，即ea≠a，而且单位向量也不唯一。若把单位向量的起点放在同一点，则所有单位向量构成一个单位圆（球）；数的乘法运算满足结合律、消去律，即对于任何数a、b、c，（ab）c＝a（bc），若ab＝ac，且a≠0，则b＝c。对于向量的数量积运算来说，（ab）c≠a（bc）。这是因为，ab，bc都是实数，（ab）c是与c方向相同或相反的向量，a（bc）是与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线，即使共线，（ab）c与a（bc）也不一定相等。若向量a、b、c是三个互相垂直的非零向量，则ab＝ac＝0，且a≠0，但b≠c。因此，向量的数量积运算不满足结合律、消去律。在教学中，应让学生明确向量运算与数运算的这些区别，这样才能对向量运算乃至代数运算有深入的认识。

　　在向量的教学中，还应注意揭示向量代数性质的几何意义。向量代数性质的几何意义对于运用向量刻画几何对象是非常重要的。例如，向量数乘运算λa的几何意义是与a平行的向量，也可以表示一点和一个方向向量a所确定的直线，两个不共线向量a与b的线性组合λa＋γb表示向量a与b所确定的平面。这就把向量的线性运算与直线、平面联系起来了。aa的几何意义就是向量a的长度的平方，这就把向量的数量积运算与向量的长度联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与两点间的距离公式联系起来了。ab＝0的几何意义是向量a与b垂直，这就把向量的数量积运算与向量的位置关系联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与直线的位置关系以及点到直线的距离联系起来了。设e是单位向量，则ae表示向量a在单位向量e上的投影的长度，这就把向量的数量积运算与向量夹角的三角函数联系起来了。在教学中，应帮助学生将向量代数运算与它的几何意义联系起来，这样才能运用向量代数性质更好地刻画几何对象，从而体会代数与几何的联系。

（三）关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用

　　物理中的矢量是向量的原型，向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。因此，向量在物理中有广泛应用是不言而喻的。在教学中，应引导学生有意识地运用向量及其运算的性质刻画和解决物理学科中的问题。

　　向量在数学中有着广泛的应用，向量及其代数运算可以刻画几何对象以及几何度量问题，可以表示三角函数、证明三角函数的公式，可以表示重要的不等式。例如，向量的线性运算可以刻画直线与平面以及平行、共面等关系，向量的数量积运算可以刻画角度、长度、面积、体积等几何度量问题以及相交、垂直等关系；运用向量的数量积也可以定义三角函数（设（e1，e2）是平面上的标准正交基，a是平面上的向量，a与e1的夹角为α，则可以定义三角函数如下：，运用向量的数量积也很容易推导出两角差的余弦公式cos（α—β）＝cos αcos β＋sin αsin β；向量的数量积还蕴涵着一个重要的不等关系ab≤|a||b|，这个不等关系可用来证明数学中的许多不等式。向量在机器人设计与操控、卫星定位、飞船设计等现代技术中也有着广泛的应用。因此，在向量的教学中，应注意体现向量在物理、数学、现代科学技术中的广泛应用性。特别应注意不能把向量的应用只局限在解决几何问题中。向量是解决几何问题的一种有效工具，但高中数学新课程中设置向量内容有着更为广泛的目的，而不仅仅是为了解决几何问题、简化几何证明。

　　参考文献：

［1］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）［S］．北京：人民教育出版社，

［2］数学课程标准研制组．普通高中数学课程标准（实验）解读［M］．南京：江苏教育出版社，

［3］刘绍学，章建跃．几何中的向量方法［J］．数学通报，2004，（3）

［4］韩文美．向量学习的“四注意”和“四不能”［J］．中学数学，2004，（10）

探究高中数学新课程中的向量及其教学13

　　1引言

　　数学学科与其他的人文性学科不同，很多的问题学生只有动手操作才能够理解。因此，教师只有鼓励学生在动手的过程中进行观察、思考与发现，才能够有效提升学生的创新意识与实践能力。而将自制教具应用在高中数学教学中就能够有效地优化教学成果，提升学生的综合能力。从这一层面而言，自制教具在高中数学教学中起着十分重要的作用。本文主要分析自制教具在实施新课程高中数学教学中的作用与注意事项。

　　2自制教具在实施新课程高中数学教学中的作用分析

　　将自制教具应用在高中数学教学中能够引起学生的共鸣在现代化教学手段还未在高中数学教学中得到广泛应用之前，自制教具在高中数学教学中的应用范围十分的广泛，尤其是在三角函数、平面几何与立体几何的教学过程中，自制教具一直发挥着重要的作用，给教师的教以及学生的学均带来极大的便利。虽然自制教具粗糙、简单，但是应用到数学教学课堂中时，往往能够快速引发出学生的共鸣，这种共鸣由眼球产生，由思维的火花放大。数学学科与人文性学科相比而言，有着极强的抽象性与实践性，很多定律性质的认识与抽象知识的理解都需要让学生自主地发现与探索。这些知识与定律是适合采用直观式教学法进行教学的，自制教具有着生动与直观的特征，就能够在触觉、听觉以及视觉上引起学生的注意。如果教师将自制教具与多媒体教学模式进行有机的结合，就可以让枯燥的教学内容变得生动、具体。这不仅能够有效节约教师的教学时间，也能够帮助学生更好地理解所学的知识，提升知识的可接受性，将学生的认识从感性认识升华为理性认识。可以说，自制教具与多媒体教学模式能够起到互补的效用。

　　但是，要注意到的是，在现代化信息技术的进步之下，多媒体已经在数学教学中得到了广泛的应用，很多学校都安排了多媒体教室，在网络上也有大量的教学课件。在这种模式之下，教师只需要通过网络就能够将课件搬入大荧幕之中，就可以有效地节约教学时间。因此，很多教师就一味地应用教学课件，逐渐将自制教具摒弃。实际上，多媒体教学模式当然能够起到教具的效用，也将课堂变得热闹，但是学生的注意力也多被多媒体的场景吸引。从表面上看，他们在积极地听讲，但是过于复杂的课件反而会对学生新知识的接受产生不良的影响。例如，在立体几何教学过程中，很多教师都喜欢利用多媒体为学生展示不同的几何图形，但是在这些几何图形播放完成后，学生却一头雾水，不明确几何模型的绘制方式。究其根本原因，就是由于学生在观看多媒体课件时，多是一种好奇心理，这样的结果只能是学生大饱眼福，难以在头脑中形成深刻的印象。在这种模式之下，学生求知的欲望也被好奇心理取代，在学习的过程中，其数学思维只能够停留在不同方位、不同角度、不同空间的欣赏。这样的数学课堂虽然热闹，但是教学成效是不够理想的。考虑到这一因素，教师在利用多媒体进行教学时，要注意到利用的度，控制好课件的展示时间，在展示完成之后，即可将自制教具展示出来，引导学生从不同的视角、不同的侧面进行观察，从上而下、从近而远地进行观察。这样学生不仅能够看得见，也可以摸得着，其注意力便可以被有效地调动起来，在多媒体教学模式的扶植之下，就能够有效地提升数学教学的质量。

　　将自制教具应用在高中数学教学中能够营造出一种生动、直观的教学情境将自制教具与多媒体教学模式进行有机结合，便可以有效地营造出一种生动、直观的教学情境，也可以在触觉、听觉与视觉等多个方面引发其学生的思考。以立体几何的教学为例，从认知学角度进行分析，教师如果想要帮助学生掌握立体知识的概念，帮助学生认识到不同集合体的形状与形式，就需要从不同的角度为学生进行展示，而要让学生对几何图形有深刻的感悟与感知，就需要应用到自制数学教具。在实际的教学过程中，教师可以鼓励学生参与到教具的制作过程中，由师生共同来完成，在教学的过程中，即可给出空间几何体，让学生全面、客观地接受相关知识，感受不同概念的形成与发展过程。当然，在教学的过程中，教师不能一味追求教学的华丽与新颖，要充分地将自制教具的功能发挥出来。为此，教师必须要精心准备教具，不可随心所欲，要把握好教具使用的时效性与实用性原则，在不同的教学阶段、不同的教学内容中选择相应的教具。此外，要注意选择对教学重点与教学难点帮助大的工具，这样才能够有效地增强数学课堂的教学效果。将自制教具应用在高中数学教学中能够提升数学教学的趣味性数学知识是无处不在的，是广泛存在于人们生活中的。著名的数学家陈省身先生曾经为青少年数学爱好者题词，曰：“数学好玩。”高中知识也是如此，具有这生活化的特征，因此，在具体的教学过程中教师即可通过制作几何模板、游戏牌、立体几何模型的模式让学生开展镶嵌、数字游戏、七巧板拼图、建筑设计等活动，让学生可以在学习中来游戏，在游戏中进行学习，这样不仅能够有效提升学生的综合能力，也可以激发出学生学习数学知识的热情与兴趣。考虑到以上的因素，教师在日常教学过程中，就可以将学生身边的各项资源充分地利用起来，鼓励学生通过多种多样的模式进行学习，为学生提供制作教具的机会，并积极地开展不同类型的活动，在实践的过程中提升学生分析问题与解决问题的能力。

　　3结语

　　在高中数学教学课堂中，通过对不同教具的制作与使用，能够有效地激发出学生的参与意识，能够将抽象的数学知识变得直观化。可以说，教具的使用让图形到符号语言的传达变得方便、科学，不仅可以帮助教师更好地教授知识，也能够帮助学生更好地理解数学知识，从而顺利完成高中数学的学习任务。

探究高中数学新课程中的向量及其教学14

　　1.传统高中数学应用题解题方法的局限性

　　虽然传统的高中数学在应用题的解题形式上与数学建模比较相似，但是在实际解题的过程中还是存在着差距.传统的数学试题的解题目的很明确，没有辅助性的条件，其结论也是唯一的，把实际的问题经过简单和理想的数学化模式处理，使数学问题与实际问题相分离，学生只是按照数学的解题模式进行分析和解答，很少考虑影响解题的其他因素.数学建模在解题中必须考虑到各种与解题相关的其他因素，这也是数学建模的难点和重点.在实际生活中，人们对问题提出解决问题的方案之前必须要收集大量的数据资料，再对资料进行分析、整理和对比，然后明确问题的解决方案，提出解决问题的方式.传统数学的解题形式就是对原始数据进行加工，以文字或者图形的形式表达出来，使问题表现得更加直观性，但是其脱离了实际问题.数学建模的问题来自于生活，贴近实际，对问题的客观要求和所得的结论表现的比较模糊，给教师和学生留有很大的挖掘空间，教师和学生根据自己所掌握的信息和知识增加数学建模的内容.因此，传统的数学解题方式虽然相对数学建模来说简单易懂，但是不能完全说明数学问题反映的问题，具有其局限性.

　　2.数学建模在高中数学教学中的应用

　　2.1用数学建模思想概括数学知识

　　许多不同版本的高中数学教材都用数学建模的思想构建了数学知识体系，如人教版A中将函数介绍为“许多运动变化现象都表现变量之间的依赖关系.在数学上，用函数模型描述了这种相互关系，并通过函数的性质分析了各因素之间的变化规律”.人教版B版关于函数的定义是，“函数是描述变量之间依赖关系和集合之间关系的一个基本的数学模型，是研究事物变化的规律和之间的关系的一个基本的数学工具”.北师大版关于函数的描述是，“函数是分析事物变化规律的数学模型，是数学的基本概念，函数思想是研究数学问题的基本思想”，以上几个版本都在课本中设置了函数的章节.在高中数学教学中，只要教师能够领会函数的真正内涵，就很容易设置出相应的数学教学模式.有些教材，如苏教版没有设置数学建模章节，教师可以根据自行的教学内容，从数学模型的角度设置函数的概念，用具体问题的数学建模来引入新课.

　　2.2解决问题的过程分解

　　在高中数学的学习中，由于学生长期以来解决数学问题的方式和学习数学知识的方法与数学建模的思维存在着较大的差异，所以数学模型的构建难度比较大.因此，为了解决学生在数学建模方面的困境，必须要鼓励学生多参与数学模型的构建活动，教师要培养学生构建数学模型的思维，通过分析数学模型设计、构建的过程、以及模型的应用等提示，提高学生构建模型的思维，概括出建模中蕴含的数学思想和思维方法，设置一些适合于高中学生思维相符合的数学建模，让学生在建模中体验建模成功的感觉，树立建模的信心，培养学生的数学思维能力、创新能力和实践能力.教师在高中数学教学中，可以将完整的数学建模分割为问题提出、模型推断、模型求解、模型检验等几大环节进行分解，在不同的环节设置不同数学问题，学生根据实际选择不同的问题对数学建模进行分析.本文中认为，利用数学建模解决数学问题时，可以在日常的教学中融入以下几种方式:第一，在高中数学的课堂教学中，教师可以留出一些时间来介绍一个数学模型问题，让学生通过讨论的方式对问题进行分析，并提出新的模型推断，将推断的模型求解与检验放到课后去完成.例如，在数学函数模块的教学中可以选择以下问题，即“把半径为r的圆木料锯成横截面为矩形的木料，怎样才能使横截面的面积最大”.数学模型分析，如果要使横截面的面积最大，那么矩形的面积要做到最大.把矩形木料抽象为矩形，舍弃原型中的非本质属性“木料”.假设矩形的长为x，则宽为4r2-x槡2由此构成矩形面积公式模型S=xy=x4r2-x槡2.第二，在数学的课堂教学中，要将所学的知识点与数学建模相结合起来，将所学的知识点应用到模型的定性推断问题上，让学生在课余时间完成数学建模的定量推断与求解、检验.许多传统的数学应用题也可纳入数学建模中进行研究.第三，在若干具体问题的完成的数学模型上，归纳出建立数学模型的策略和方法.如从增长率问题、福利问题归纳出这些问题的数学建模等.第四，在数学模型的构建上，要根据阶段性所学的知识点综合设置完整的数学模型.数学模型问题的选择与设置要与生活实际相结合，能够引起学生的兴趣，让学生能够体会到数学模型能够与人类的生活紧密联系，解决实际问题，体现出数学模型的价值.这样，学生看到能用数学知识解决实际问题，有利于增强学生学习数学的自信心和兴趣.

　　3.高中数学模型构建教学中所遵守的原则

　　3.1突出学生在数学模型构建中的主体地位

　　高中数学模型构建的过程就是将抽象和复杂的问题简化成数学模型，通过数学模型建立一个合理的解决问题的方法，并对这种方法进行检验.高中数学建模课程中将学生作为教学的主体，教师引导学生和鼓励学生尝试着将实际问题纳入数学模型的构建中，在数学模型的构建中，要多阅读、多思考、多练习和多请教，让学生始终处于主动参与、主动探索的积极状态.

　　3.2重点思考和分析建模的数学思维过程

　　学生在参与数学建模活动的过程中，要应用数学思维分析建模的过程.通过数学建模的活动，挖掘一些有价值的数学思维模式，提炼出有助于数学建模的数学思想和方法，培养学生多方面的数学思维能力和创新能力，使每个学生能够各尽其智，各有所得，获得成功.

　　3.3要全方位渗透数学思想方法

　　高中数学建模教学的过程就是利用多种方式解决实际问题的过程，在建模过程中要渗透各种数学的思维方法.首先是数学建模中化归思想方法，还可根据不同的实际问题渗透函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、类比归纳与联想思想及探索思想，还可向学生介绍消元法、换元法、待定系数法、配方法、反证法等数学方法.只要教师在高中数学建模教学中注重全方位渗透数学思想方法，就可以让学生从本质上理解数学建模思想，就可以把数学建模知识内化为学生的心智素质.

　　作者：魏公河 工作单位：甘肃省民乐县第一中学

探究高中数学新课程中的向量及其教学15

　　第一教时

　　教材：向量

　　目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已

　　知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

　　过程：

　　一、开场白：课本P93(略)

　　实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B问：猫能否追到老鼠?(画图)

　　结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 AB

　　二、 提出课题：平面向量

　　1.意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

　　等

　　注意：1?数量与向量的区别：

　　数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

　　小;

　　向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

　　2?从19世纪末到20体系，用以研究空间性质。

　　2. 向量的表示方法： a B

　　1?几何表示法：点—射线 (终点)有向线段——具有一定方向的线段 A(起点)

　　记作(注意起讫)

　　2?字母表示法：可表示为(印刷时用黑体字)

　　P95 例用1cm表示5n mail(海里)

　　3. 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的

　　4. 两个特殊的向量：

　　1?零向量——长度(模)为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别

　　2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。

　　例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量?

　　答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

　　例：与是否同一向量?

　　答：不是同一向量。

　　例：有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系：

　　1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

　　记作：∥∥

　　规定：与任一向量平行

　　2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 a 记作：=

　　规定：=

　　任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3. 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，

　　所以平行向量也叫共线向量。

　　OA=a OB=b OC=c

　　例：(P95)略

　　变式一：与向量长度相等的向量有多少个?(11个)

　　变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三：与向量共线的向量有哪些?(,,)

　　四、 小结：

　　五、 作业：P96 练习 习题5.1

　　第二教时

　　教材：向量的加法

　　目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作

　　几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。

　　过程：

　　六、复习：向量的定义以及有关概念

　　强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何

　　向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

　　七、 提出课题：向量是否能进行运算?

　　5.某人从A到B，再从B按原方向到C，

　　A BC

　　则两次的位移和：??

　　6.若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC

　　7.某车从A到B，再从B改变方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC

　　8.船速为AB，水速为BC，

　　则两速度和：??

　　提出课题：向量的加法 A B三、1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

　　注意：;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)

　　2.三角形法则： a b b

　　A+ a b a+b A A C A B B

　　B

　　1?“向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起

　　点

　　2?可以推广到n个向量连加

　　3

　　4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

　　3.例一、已知向量、，求作向量+

　　作法：在平面内取一点，

　　作? ?

　　则?? O b

　　B AB C C 4.加法的交换律和平行四边形法则 B

　　上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同

　　从而得到：1?向量加法的平行四边形法则

　　2?向量加法的交换律：+=+

　　9.向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

　　证：如图：使?, ?, ?

　　A+c

　　则(+) +=??

+ (+) =??

∴(a+b) +c=a+ (b+c)

　　从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

　　四、例二(P98—99)略

　　五、小结：1?向量加法的几何法则

　　2?交换律和结合律

　　3?注意：|+| > || + ||不一定成立，因为共线向量不然。

　　六、作业：P99—100练习P102 习题5.2 1—3

　　第三教时

　　教材：向量的减法

　　目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。 过程：

　　八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

　　向量加法的运算定律： 例：在四边形中，??? 解：CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD

　　九、 提出课题：向量的减法 A B

　　1.用“相反向量”定义向量的减法

　　1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量(?a) = a

　　任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0

　　如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0

　　3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

　　即：a ? b = a + (?b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。

　　2.用加法的逆运算定义向量的减法：

　　向量的减法是向量加法的逆运算：

　　若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b

　　3.求作差向量：已知向量a、b，求作向量

∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a

　　A 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b

　　则= a ? b b b a?b

　　即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

　　注意：1?表示a ? b。强调：差向量“箭头”指向被减数

　　2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)

　　显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

　　B’ ?b a

　　B A b

　　4.a∥b∥c B a ? b = a + (?b) a ? b

　　A?b O B A B’ O B

　　A?b O

　　A ?b B 十、例题： 例一、(P101 例三)已知向量a、b、c、

　　D，求作向量a?b、c?d。

　　解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d,

　　作, ,则= a?b, = c?d

　　A b C

　　B 例二、平行四边形中，，用表示向量，

　　解：由平行四边形法则得：

= a + b, = ? = a?b

　　变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a?b垂直?(|a| = |b|)

　　变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|?(a, b互相垂直)

　　变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗?(不可能， 十一、 小结：向量减法的定义、作图法|

　　十二、 作业： P102 练习

　　P103 习题5.2 4—8

　　第四教时

　　教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课

探究高中数学新课程中的向量及其教学16

　　一、教学目标

(一)知识与能力

　　1.了解平面向量的概念;

　　2.学会平面向量的表示方法;

　　3.理解向量、零向量、相等向量的意义。

(二)过程与方法

　　用联系的方法、类比的观点研究向量。

(三)情感态度与价值观

　　使学生自然地实现概念的形成，培养学生的唯物辩证思想。

　　二、教学重难点

(一)教学重点

　　向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

(二)教学难点

　　向量的概念及对平行向量的理解。

　　三、教学过程

(一)引入

　　1.类比法：引入概念

　　师：在物理中，位移与距离是同一个概念吗?为什么??在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。在数学中，把只有大小，没有方向的量叫数量，把既有大小、又有方向的量叫做向量。

　　2.联系法：激活学生的相关经验，加深印象

　　师：能否举出一些生活中既有大小又有方向的量?

(二)平面向量的表示方法

　　1.代数表示

　　一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示，如。

　　2.几何表示

　　向量可以用有向线段的起终点字母表示：。

　　3.坐标表示

　　在直角坐标系内，任取两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

(三)相关概念

　　1.向量的模

　　有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

　　2.单位向量

　　引入：用有向线段表示向量，大家所画线段长短不一是为什么呢?(由单位长度引入单位向量)

　　总结：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示。

　　3.零向量

　　长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

　　4.平行向量(共线向量)

　　两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，记作0//。

　　5.相等向量

　　设计活动：传花游戏(通过游戏调动兴趣，让学生体会相等向量的本质特征)

　　总结：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

　　本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。具体教学中，要设计一个能让学生领悟概念的过程，引导他们联系具体事例，体会概念的本质特征。要使学生意识到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。

探究高中数学新课程中的向量及其教学17

　　教学准备

　　教学目标

　　1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

　　2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

　　3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

　　4.掌握向量垂直的条件.

　　教学重难点

　　教学重点：平面向量的数量积定义

　　教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

　　教学工具

　　投影仪

　　教学过程

　　一、复习引入：

　　1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

　　五，课堂小结

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

　　六、课后作业

　　P107习题2.4A组2、7题

　　课后小结

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

　　课后习题

　　作业

　　P107习题2.4A组2、7题

　　板书

　　略