数学函数的教案

数学函数的教案（实用17篇）

　　下面是范文网小编分享的数学函数的教案（实用17篇），供大家赏析。

数学函数的教案1

　　一、教学类型

　　新知课

　　二、教学目标

　　1、理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的定义域，值域及其奇偶性。

　　2、通过对指数函数的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学习兴趣。

　　三、教学重点和难点

　　重点：理解指数函数的定义，把握图象和性质。

　　难点：认识底数对函数值影响的认识。

　　四、教学用具

　　投影仪

　　五、教学方法

　　启发讨论研究式

　　六、教学过程

　　1）引入新课

　　我们前面学习了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数——指数函数。指数函数（板书）

　　这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题：

　　问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂次后，得到的细胞分裂的个数与之间，构成一个函数关系，能写出与之间的函数关系式吗？

　　问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了次后绳子剩余的`长度为米，试写出与之间的函数关系。

　　1、定义：形如的函数称为指数函数。（板书）

　　教师在给出定义之后再对定义作几点说明。

　　2、几点说明（板书）

　　（1）关于对的规定：

　　（2）关于指数函数的定义域（板书）

　　（3）关于是否是指数函数的判断（板书）刚才分别认识了指数函数中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是指数函数，请看下面函数是否是指数函数。学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是指数函数，其中（3）可以写成，也是指数图象。最后提醒学生指数函数的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。

　　3、归纳性质。

数学函数的教案2

　　教学目标：

　　(一)教学知识点：

　　1.对数函数的概念；

　　2.对数函数的图象和性质.

　　(二)能力训练要求：

　　1.理解对数函数的概念；

　　2.掌握对数函数的图象和性质.

　　(三)德育渗透目标：

　　1.用联系的观点分析问题；

　　2.认识事物之间的互相转化.

　　教学重点：

　　对数函数的图象和性质

　　教学难点：

　　对数函数与指数函数的关系

　　教学方法：

　　联想、类比、发现、探索

　　教学辅助：

　　多媒体

　　教学过程：

　　一、引入对数函数的概念

　　由学生的预习，可以直接回答“对数函数的概念”

　　由指数、对数的定义及指数函数的概念，我们进行类比，可否猜想有：

　　问题：

　　1.指数函数是否存在反函数？

　　2.求指数函数的反函数．

　　3.结论

　　所以函数与指数函数互为反函数．

　　这节课我们所要研究的便是指数函数的反函数——对数函数．

　　二、讲授新课

　　1.对数函数的定义：

　　定义域：(0,+∞)；值域:(-∞,+∞)

　　2.对数函数的图象和性质：

　　因为对数函数与指数函数互为反函数．所以与图象关于直线对称．

　　因此，我们只要画出和图象关于直线对称的曲线，就可以得到的图象．

　　研究指数函数时，我们分别研究了底数和两种情形．

　　那么我们可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．

　　还可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．

　　请同学们作出与的.草图，并观察它们具有一些什么特征？

　　对数函数的图象与性质：

　　（1）定义域：

　　（2）值域：

　　（3）过定点，即当时，

　　（4）上的增函数

　　（4）上的减函数

　　3.练习：

　　(1)比较下列各组数中两个值的大小：

　　(2)解关于x的不等式：

　　思考：

　　(1)比较大小：

　　(2)解关于x的不等式：

　　三、小结

　　这节课我们主要介绍了指数函数的反函数——对数函数．并且研究了对数函数的图象和性质．

　　四、课后作业

　　课本P85，习题2．8，1、3

数学函数的教案3

　　教学目标：

　　(一)教学知识点：

　　1.对数函数的概念；

　　2.对数函数的图象和性质.

　　(二)能力训练要求：

　　1.理解对数函数的概念；

　　2.掌握对数函数的图象和性质.

　　(三)德育渗透目标：

　　1.用联系的观点分析问题；

　　2.认识事物之间的互相转化.

　　教学重点：

　　对数函数的图象和性质

　　教学难点：

　　对数函数与指数函数的关系

　　教学方法：

　　联想、类比、发现、探索

　　教学辅助：

　　多媒体

　　教学过程：

　　一、引入对数函数的概念

　　由学生的预习，可以直接回答“对数函数的概念”

　　由指数、对数的定义及指数函数的概念，我们进行类比，可否猜想有：

　　这节课我们所要研究的便是指数函数的反函数——对数函数。

　　二、讲授新课

　　1.对数函数的定义：

　　定义域：(0，+∞)；值域：(-∞，+∞)

　　2.对数函数的图象和性质：

　　因为对数函数与指数函数互为反函数。所以与图象关于直线对称。

　　因此，我们只要画出和图象关于直线对称的曲线，就可以得到的.图象。

　　研究指数函数时，我们分别研究了底数和两种情形。

　　那么我们可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象。

　　还可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象。

　　请同学们作出与的草图，并观察它们具有一些什么特征？

　　对数函数的图象与性质：

　　图象

　　性质（1）定义域：

　　（2）值域：

　　（3）过定点，即当时，

　　（4）上的增函数

　　（4）上的减函数

　　3.图象的加深理解：

　　下面我们来研究这样几个函数：

　　我们发现：

　　与图象关于X轴对称；与图象关于X轴对称。

　　一般地，与图象关于X轴对称。

　　再通过图象的变化（变化的值），我们发现：

　　（1）时，函数为增函数，

　　（2）时，函数为减函数，

　　4.练习：

　　(1)曲线分别为函数，的图像，试问的大小关系如何？

　　(2)比较下列各组数中两个值的大小：

　　(3)解关于x的不等式：

　　思考：(1)比较大小：

　　(2)解关于x的不等式：

　　三、小结

　　这节课我们主要介绍了指数函数的反函数——对数函数。并且研究了对数函数的图象和性质。

　　四、课后作业

　　课本P85，习题2、8，1、3

数学函数的教案4

　　教学目标：

　　（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；

　　（2）培养学生的归纳、总结能力；

　　（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想。

　　教学重点：

　　理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法。

　　教学难点：

　　两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆。

　　教学活动设计

　　（一）实际问题（引入）

　　很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象。（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

　　两圆的公切线概念

　　1、概念：

　　教师引导学生自学。给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

　　和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

　　(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

　　(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

　　(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。

　　2、理解概念：

　　(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

　　(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

　　(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的`长。但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点。

　　(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量。

　　（三）两圆的位置与公切线条数的关系

　　组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力。添写教材P143练习第2题表。

数学函数的教案5

　　一、教学目标

　　①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义、能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。

　　②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力。

　　③引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情、在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心。

　　二、教学重点与难点

　　重点：函数概念的形成过程。

　　难点：正确理解函数的概念。

　　三、教学准备

　　每个小组一副弹簧秤和挂件，一根绳子。

　　四、教学设计

　　（一）提出问题：

　　1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶、行驶里程为s千米，行驶时间为t小时、先填写下面的表，再试着用含t的式子表示s：

　　t(小时) 1 2 3 4 5

　　s(千米)

　　2、已知每张电影票的售价为10元、如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张，那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票，票房收人为y元，怎样用含x的式子表示y?

　　3、要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?

　　注：(1)让学生充分发表意见，然后教师进行点评、

　　(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验、

　　（二）动手实验

　　1、在一根弹簧秤上悬挂重物，改变并记录重物的质量。

　　如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?

　　2、用10dm长的绳子围成矩形、试改变矩形的长，观察矩形的面积怎样变化，记录不同的矩形的长的值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律(用表格表示)、设矩形的长为xdm，面积为Sdm2，怎样用含x的式子表示S?

　　注：分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报。

　　通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息。

　　五、探究新知

　　(一)变量与常量的概念

　　1、在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程、其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是按照某种规律变化的在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量、也有些量是始终不变的'，如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等，我们称之为常量。

　　2、请具体指出上面这些问题和实验中，哪些量是变量，哪些量是常量。

　　3、举出一些变化的实例，指出其中的变量和常量。

　　注：分组活动、先独立思考，然后组内交流并作记录，最后各组选派代表汇报。

　　培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识，提高观察、分析、概括和抽象等的能力。

　　(二)函数的概念

　　1、在前面的每个问题和实验中，是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?

　　师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系、当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有惟一确定的值。

　　2、分组讨论教科书P、7 “观察”中的两个问题。

　　注：使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象。

　　3、一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么，我们就说x是自变量，y是x的函数、如果当x=a时，y=b，那么，b叫做当自变量的值为a时的函数值、例如在问题1中，时间t是自变量，里程s是t的函数、t=1时，其函数值s为60，t=2时，其函数值s为120、

　　同样，在心电图中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；

　　在人口统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数、当x=1999时，函数值y=12.52。

　　六、巩固新知

　　下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?

　　1、右图是北京某日温度变化图

　　2、国内平信邮资(外埠，100克内)简表：

　　信件质量m/克O

　　邮资y/元O、80 1、60 2、40

　　注：巩固变量与函数的概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，初步了解函数的三种表示方法

　　七、总结归纳

　　1、常量与变量的概念；

　　2、函数的定义；

　　3、函数的三种表示方式。

　　注：通过总结归纳，完善学生已有的知识结构。

数学函数的教案6

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解.

　　2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.

　　(二)能力训练要求

　　结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。

　　(三)情感与价值观要求

　　结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.

　　教学重点

　　经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.

　　教学难点

　　领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.

　　教学方法

　　教师引导学生进行归纳.

　　教具准备

　　投影片两张

　　第一张：(记作5.1A)

　　第二张：(记作5.1B)

　　教学过程

　　Ⅰ.创设问题情境，引入新课

　　[师]我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y=kx+b.其中k，b为常数且k≠0，正比例函数的表达式为y=kx，其中k为不为零的常数。但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式。如从A地到B地的.路程为1200km，某人开车要从A地到B地，汽车的速度v(km/h)和时间t(h)之间的关系式为vt=1200，则t= 中t和v之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢?这就是本节课我们要揭开的奥秘。

　　Ⅱ.新课讲解

　　[师]我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回忆一下什么叫函数?

　　1.复习函数的定义

　　[师]大家还记得函数的定义吗?

　　[生]记得.

　　在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称y是x的函数。

　　[师]大家能举出实例吗?

　　[生]可以.

　　例如购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(个)的关系是y=0.4n.这是一个正比例函数。

　　等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x，y是x的一次函数。

　　[师]很好，我们复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函数关系式。

　　2.经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式。

　　3.做一做

　　小结

　　本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y= (k为常数，k≠0)，自变量x不能为零.还能根据定义和表达式判断某两个变量之间的关系是否是函数，是什么函数。

数学函数的教案7

　　一、教学目的

　　1、使学生进一步理解自变量的取值范围和函数值的意义。

　　2、使学生会用描点法画出简单函数的图象。

　　二、教学重点、难点

　　重点：

　　1、理解与认识函数图象的意义。

　　2、培养学生的看图、识图能力。

　　难点：

　　在画图的三个步骤的`列表中，如何恰当地选取自变量与函数的对应值问题。

　　三、教学过程

　　1、画函数图象的方法是描点法。其步骤：

　　（1）列表。要注意适当选取自变量与函数的对应值。什么叫“适当”？——这就要求能选取表现函数图象特征的几个关键点。比如画函数y=3x的图象，其关键点是原点（0，0），只要再选取另一个点如M（3，9）就可以了。

　　一般地，我们把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，这就要把自变量与函数的对应值列出表来。

　　（2）描点。我们把表中给出的有序实数对，看作点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。

　　（3）用光滑曲线连线。根据函数解析式比如y=3x，我们把所描的两个点（0，0），（3，9）连成直线。

　　一般地，根据函数解析式，我们列表、描点是有限的几个，只需在平面直角坐标系中，把这有限的几个点连成表示函数的曲线（或直线）。

　　2、讲解画函数图象的三个步骤和例。画出函数y=x+0.5的图象。

　　小结

　　本节课的重点是让学生根据函数解析式画函数图象的三个步骤，自己动手画图。

　　练习：

　　①选用课本练习（前一节已作：列表、描点，本节要求连线）

　　②补充题：画出函数y=5x－2的图象。

　　作业：选用课本习题。

　　四、教学注意问题

　　1、注意渗透数形结合思想。通过研究函数的图象，对图象所表示的一个变量随另一个变量的变化而变化就更有形象而直观的认识。把函数的解析式、列表、图象三者结合起来，更有利于认识函数的本质特征。

　　2、注意充分调动学生自己动手画图的积极性。

　　3、认识到由于计算器和计算机的普及化，代替了手工绘图功能。故在教学中要倾向培养学生看图、识图的能力。

数学函数的教案8

　　教学目标

　　（1）理解四种命题的概念；

　　（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；

　　（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；

　　（4）初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤；

　　（5）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；

　　（6）通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育；

　　（7）培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。

　　教学重点和难点

　　重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用。

　　教学过程设计

　　第一课时：四种命题

　　一、导入新课

　　【练习】1、把下列命题改写成“若则”的形式：

　　（1）同位角相等，两直线平行；

　　（2）正方形的四条边相等。

　　2、什么叫互逆命题？上述命题的逆命题是什么？

　　将命题写成“若则”的形式，关键是找到命题的条件与结论。

　　如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互道命题。

　　上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等，则它是正方形”和“若两条直线平行，则同位角相等”。

　　值得指出的.是原命题和逆命题是相对的。我们也可以把逆命题当成原命题，去求它的逆命题。

　　3、原命题真，逆命题一定真吗？

　　“同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真。但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真。

　　学生活动：

　　口答：

　　（1）若同位角相等，则两直线平行；

　　（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

　　设计意图：

　　通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础。

　　二、新课

　　【设问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？

　　【讲述】可以将原命题的条件和结论分别否定，构成“同位角不相等，则两直线不平行”，这个命题叫原命题的否命题。

　　【提问】你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗？

　　学生活动：

　　口答：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。

　　教师活动：

　　【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

　　若用和分别表示原命题的条件和结论，用┐和┐分别表示和的否定。

　　【板书】原命题：若则；

　　否命题：若┐则┐。

　　【提问】原命题真，否命题一定真吗？举例说明？

　　学生活动：

　　讲论后回答：

　　原命题“同位角相等，两直线平行”真，它的否命题“同位角不相等，两直线不平行”不真。

　　原命题“正方形的四条边相等”真，它的否命题“若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等”不真。

　　由此可以得原命题真，它的否命题不一定真。

　　设计意图：

　　通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成否命题及判断它们的真假，调动学生学习的积极性。

　　教师活动：

　　【提问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题和否命题外，还可以不可以构成别的命题？

　　学生活动：

　　讨论后回答

　　【总结】可以将这个命题的条件和结论互换后再分别将新的条件和结论分别否定构成命题“两条直线不平行，则同位角不相等”，这个命题叫原命题的逆否命题。

　　教师活动：

　　【提问】原命题“正方形的四条边相等”的逆否命题是什么？

　　学生活动：

　　口答：若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形。

　　教师活动：

　　【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题。

　　原命题是“若则”，则逆否命题为“若则。

　　【提问】“两条直线不平行，则同位角不相等”是否真？“若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形”是否真？若原命题真，逆否命题是否也真？

　　学生活动：

　　讨论后回答

　　这两个逆否命题都真。

　　原命题真，逆否命题也真。

　　教师活动：

　　【提问】原命题的真假与其他三种命题的真

　　假有什么关系？举例加以说明？

　　【总结】

　　1、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

　　2、原命题为真，它的否命题不一定为真。

　　3、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

　　设计意图：

　　通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成逆否命题及判断它们的真假，调动学生学的积极性。

数学函数的教案9

　　教学目标：

　　1、使学生能进一步理解函数的定义，根据实际情况求函数的定义域，并能利用函数解决实际问题中的最值问题。

　　2、渗透函数的数学思想，培养学生的数学建模能力，以及解决实际问题的.能力。

　　3、能初步建立应用数学的意识，体会到数学的抽象性和广泛应用性。

　　教学重点：

　　1、从实际问题中抽象概括出运动变化的规律，建立函数关系式。

　　2、通过函数的性质及定义域范围求函数的最值。

　　教学难点：

　　从实际问题中抽象概括出运动变化的规律，建立函数关系式

　　教学方法：

　　讨论式教学法

　　教学过程：

　　例1、A校和B校各有旧电脑12台和6台，现决定送给C校10台、D学校8台，已知从A校调一台电脑到C校、D学校的费用分别是40元和80元，从B校调运一台电脑到C校、D学校的运费分别是30元和50元，试求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少?

　　(1)几分钟让学生认真读题，理解题意

　　(2)由题意可知，一种调配方案，对应一个费用。不同的调配方案对应不同的费用，在这个变化过程中，调配方案决定了总费用。它们之间存在着一定的关系。究竟是什么样的关系呢？需要我们建立数学模型，将之形式化、数学化。

　　解法（一）列表分析：

　　设从A校调到C校x台，则调到D学校（12―x）台，B校调到C校是（10―x）台。B校调到D学校是[6-(10-x)]即（x-4）台，总运费为y。

　　根据题意：

　　y=40x+80（12-x）+30（10-x）+50（x-4）

　　y=40x+960-80x+300-30x+50x-200

　　=-20x+1060（4≤x≤10，且x是正整数）

　　y=-20x+1060是减函数。

　　∴当x=10时，y有最小值ymin=860

　　∴调配方案为A校调到C校10台，调到D学校2台，B校调到D学校2台。

　　解法（二）列表分析

　　设从A校调到D学校有x台，则调到C校（12―x）台。B校调到C校是[10-(12-x)]即（x-2）台。B校调到D学校是（8―x）台，总运费为y。

　　y=40（12–x）+80x+30（x–2）+50（8-x）

　　=480–40x+80x+30x–60+400–50x

　　=20x+820（2≤x≤8，且x是正整数）

　　y=20x+820是增函数

　　∴x=2时，y有最小值ymin=860

数学函数的教案10

　　教学目标

　　1、知识与技能

　　了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系。

　　2、过程与方法

　　经历探索函数概念的过程，感受函数的模型思想。

　　3、情感、态度与价值观

　　培养观察、交流、分析的思想意识，体会函数的实际应用价值。

　　重、难点与关键

　　1、重点：认识函数的概念。

　　2、难点：对函数中自变量取值范围的确定。

　　3、关键：从实际出发，由具体到抽象，建立函数的模型。

　　教学方法

　　采用“情境──探究”的方法，让学生从具体的情境中提升函数的思想方法。

　　教学过程

　　一、回顾交流，聚焦问题

　　1、变量（P94）中5个思考题。

　　【教师提问】

　　同学们通过学习“变量”这一节内容，对常量和变量有了一定的认识，请同学们举出一些现实生活中变化的实例，指出其中的常量与变量。

　　【学生活动】思考问题，踊跃发言。（先归纳出5个思考题的关系式，再举例）

　　【教师活动】激发兴趣，鼓励学生联想，2、在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以挖地用T=10-来表示，请你根据这个关系式回答下列问题：

　　（1）指出这个关系式中的变量和常量。

　　（2）填写下表。

　　高度d/m 0，200，400，600，800，1000

　　温度T/℃

　　（3）观察两个变量之间的联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就______。

　　3、课本P7“观察”。

　　【学生活动】四人小组互动交流，踊跃发言

　　二、讨论交流，形成概念

　　【函数定义】

　　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

　　【教师活动】归纳出函数的.定义。强调在上述活动中的关系式是函数关系式。提问学生，两个变量中哪个是自变量呢？哪个是这个自变量的函数？

　　【学生活动】辨析理解，如：T=10-这个函数关系式中，d是自变量，T是d的函数等。弄清函数定义中的问题。

　　三、继续探究，感知轻重

　　课本P8探究题。

　　【学生活动】使用计算器进行探索活动，回答问题，理解函数概念。

　　（1）y=2x+5，y是x的函数；

　　（2）y=2x+1，y是x的函数。

　　四、范例点击，提高认知

　　【例1】一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为/km。

　　（1）写出表示y与x的函数关系的式子。

　　（2）指出自变量x的取值范围。

　　（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

　　【教师活动】讲例，启发引导学生共同解决上述例1、

　　五、随堂练习，巩固深化

　　课本P99练习。

　　六、课堂总结，发展潜能

　　1、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法），它只是函数表示法的一种。

　　2、求函数的自变量取值范围的方法。

　　（1）要使函数的表达式有意义；

　　（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

　　3、把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值。

　　七、布置作业，专题突破

　　课本P106习题14。1第1，2，3，4题。

数学函数的教案11

　　教学目标：

　　1、进一步理解函数的概念，能从简单的实际事例中，抽象出函数关系，列出函数解析式；

　　2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围。

　　3、会求函数值，并体会自变量与函数值间的对应关系。

　　4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量的取值范围的求法。

　　5、通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的。是有规律地运动变化着的。

　　教学重点：

　　了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值。

　　教学难点：

　　函数概念的抽象性。

　　教学过程：

　　（一）引入新课：

　　上一节课我们讲了函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

　　生活中有很多实例反映了函数关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与函数吗？

　　1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系。

　　2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系。

　　解：1、y=30n

　　y是函数，n是自变量

　　2、 ，n是函数，a是自变量。

　　（二）讲授新课

　　刚才所举例子中的函数，都是利用数学式子即解析式表示的。这种用数学式子表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。如第一题中的学生数n必须是正整数。

　　例1、求下列函数中自变量x的取值范围。

　　（1） （2）

　　（3） （4）

　　（5） （6）

　　分析：在（1）、（2）中，x取任意实数， 与 都有意义。

　　（3）小题的 是一个分式，分式成立的条件是分母不为0。这道题的分母是 ，因此要求 。

　　同理（4）小题的 也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是 ，因此要求 且 。

　　第（5）小题， 是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零。 的被开方数是 。

　　同理，第（6）小题 也是二次根式， 是被开方数。

　　小结：从上面的例题中可以看出函数的解析式是整数时，自变量可取全体实数；函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零。

　　注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要 即可。教师可将解题步骤设计得细致一些。先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零。求出使函数成立的自变量的取值范围。二次根式的问题也与次类似。

　　但象第（4）小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成 或 。在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用。限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”。说明这里 与 是并且的关系。即2与—1这两个值x都不能取。

　　例2、自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0。5元，一般车保管费是每次一辆0。3元。

　　（1）若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；

　　（2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的'辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围。

　　解：（1）是正整数

　　（2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，

　　则收入在1225元至1330元之间

　　总结：对于反映实际问题的函数关系，应使得实际问题有意义。这样，就要求联系实际，具体问题具体分析。

　　对于函数 ，当自变量 时，相应的函数y的值是 。60叫做这个函数当 时的函数值。

　　注：本例既锻炼了学生的计算能力，又创设了情境，让学生体会对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应。以此加深对函数的理解。

　　（二）小结：

　　这节课，我们进一步地研究了有关函数的概念。在研究函数关系时首先要考虑自变量的取值范围。因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的函数值。另外，对于反映实际问题的函数关系，要具体问题具体分析。

　　作业：习题13、2A组2、3、5

数学函数的教案12

　　目标：

　　学生将了解什么是函数以及如何在数学中表示和应用函数。

　　教学步骤：

　　1、引入

　　教师可以用图表、示例和互动活动来引入本节课的主题。例如，教师可以用一个圆的图形来展示什么是函数，然后向学生解释圆上的每个点代表着函数的输入值，而圆上的每个点代表着函数的输出值。

　　2、函数的定义

　　教师可以用一些示例来解释函数的'定义。例如，如果有一个函数y = f(x)，那么这个函数告诉我们当x等于1时，y的值为2。在这个例子中，x是输入值，y是输出值。教师可以使用图表来帮助学生理解这个概念。

　　3、函数的表示方法

　　教师可以向学生介绍不同的函数表示方法，包括等式、不等式和图表。学生应该学会如何在数学中表示和应用函数。

　　4、函数的应用

　　教师可以提供一些实际应用的例子，如地图投影、比例尺和三角函数。通过这些实际应用的例子，学生可以更好地理解函数在现实世界中的作用。

　　5、总结

　　教师可以通过问题回答、练习和互动活动来帮助学生总结本节课的内容。教师可以向学生提供一些练习题，让他们在课后继续学习和练习。

　　6、教学资源：

　　图表、示例和实际应用的例子

　　练习题和互动活动

　　课件和视频资源

　　评估：

　　练习题和互动活动

　　问题回答

　　课堂表现

　　反馈：

　　向学生提供及时的反馈和指导

　　与学生交流，了解他们的学习情况和进度

　　根据学生的反馈和表现，及时调整教学方法和策略。

数学函数的教案13

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点：

　　1、使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；

　　2、掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

　　（二）能力训练点：

　　1、通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；

　　2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。

　　（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识。

　　二、教学重点、难点

　　1、教学重点：一元二次方程的意义及一般形式。

　　2、教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。

　　三、教学步骤

　　（一）明确目标

　　1、用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程。学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力。

　　2、现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm 2 的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？

　　教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x 2 -70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题。

　　板书：“第十二章一元二次方程”。教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣。

　　（二）整体感知

　　通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中。同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位。

　　（三）重点、难点的学习及目标完成过程

　　1、复习提问

　　（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？

　　（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？

　　（3）什么叫做分式方程？

　　问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫。

　　2、引例：剪一块面积为150cm 2 的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

　　引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x 2 +5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x 2 ＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念。

　　整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程。

　　一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

　　一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的。一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”。“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础。一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的。这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断。

　　3、练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

　　（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x 2 ；

　　（2）7x 2 ＋6＝2x（3x＋1）；

　　（3）

　　（4）6x 2 ＝x；

　　（5）2x 2 ＝5y；

　　（6）-x 2 ＝0

　　4、任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式。

　　一元二次方程的一般形式：ax 2 ＋bx＋c＝0（a≠0）。ax 2 称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数。

　　一般式中的`“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax 2 +bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解。

　　5、例1? 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？

　　教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式。

　　6、练习1：教材P。5中1，2、要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价。题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数。

　　练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项。

　　8mx-2m-1＝0；（4）（b 2 ＋1）x 2 -bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx。

　　教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化。

　　（四）总结、扩展

　　引导学生从下面三方面进行小结。从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？

　　1、将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法。

　　2、整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项。归纳所学过的整式方程。

　　3、一元二次方程的意义与一般形式ax 2 ＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系。强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义。

　　四、布置作业

　　1、教材P。6 练习2、

　　2、思考题：

　　1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x 2 项的方程叫做一元二次方程？”

　　2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）。

数学函数的教案14

　　教学目标：

　　1.进一步理解指数函数的性质；

　　2.能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；

　　教学重点：

　　指数函数的性质的应用；

　　教学难点：

　　指数函数图象的平移变换。

　　教学过程：

　　一、情境创设

　　1.复习指数函数的概念、图象和性质

　　练习：函数y=ax(a0且a1)的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为。若a1，则当x0时，y 1；而当x0时，y 1.若00时，y 1；而当x0时，y 1、

　　2.情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢?我们知道对任意的a0且a1，函数y=ax的图象恒过(0，1)，那么对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过哪一个定点呢?

　　二、数学应用与建构

　　例1 解不等式：

　　(1) ； (2) ；

　　(3) ； (4)。

　　小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的.运用，关键是底数所在的范围.

　　例2 说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图：

　　小结：指数函数的平移规律：y=f(x)左右平移 y=f(x+k)(当k0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移 y=f(x)+h(当h0时，向上平移，反之向下平移).

　　练习：

　　(1)将函数f (x)=3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数 的图象.

　　(2)将函数f (x)=3x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数 的图象.

　　(3)将函数 图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是。

　　(4)对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过的定点的坐标是。函数y=a2x-1的图象恒过的定点的坐标是。

　　小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口!定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口.

　　(5)如何利用函数f(x)=2x的图象，作出函数y=2x和y=2|x2|的图象?

　　(6)如何利用函数f(x)=2x的图象，作出函数y=|2x-1|的图象?

　　小结：函数图象的对称变换规律.

　　例3 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)=1-2x，试画出此函数的图象.

　　例4 求函数 的最小值以及取得最小值时的x值.

　　小结：复合函数常常需要换元来求解其最值.

　　练习：

　　(1)函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于 ；

　　(2)函数y=2x的值域为 ；

　　(3)设a0且a1，如果y=a2x+2ax-1在[-1，1]上的最大值为14，求a的值；

　　(4)当x0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，求实数a的取值范围.

　　三、小结

　　1.指数函数的性质及应用；

　　2.指数型函数的定点问题；

　　3.指数型函数的草图及其变换规律.

　　四、作业：

　　课本P55-6，7。

　　五、课后探究

　　(1)函数f(x)的定义域为(0，1)，则函数 的定义域为。

　　(2)对于任意的x1，x2R ，若函数f(x)=2x ，试比较 的大小。

数学函数的教案15

　　一、目标：

　　1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数 ；

　　2.让学生了解函数的零点与方程根的联系 ；

　　3.让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的作用 ；

　　4.培养学生动手操作的能力 。

　　二、教学重点、难点

　　重点：零点的概念及存在性的判定；

　　难点：零点的确定。

　　三、复习引入

　　例1：判断方程 x2-x-6=0 解的'存在。

　　分析：考察函数f(x)= x2-x-6， 其图像为抛物线容易看出，f(0)=-60，

　　f(4)0，f(-4)0

　　由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，

　　点B (0，-6)与点C(4，6)之间的那部分曲线

　　必然穿过x轴，即在区间(0，4)内至少有点

　　X1 使f(X1)=0；同样，在区间(-4，0) 内也至

　　少有点X2，使得f( X2)=0，而方程至多有两

　　个解，所以在(-4，0)，(0，4)内各有一解

　　定义：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数 x叫函数y=f(x)的零点

　　抽象概括

　　y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点，即f(x)=0的解。

　　若y=f(x)的图像在[a，b]上是连续曲线，且f(a)f(b)0，则在(a，b)内至少有一个零点，即f(x)=0在 (a，b)内至少有一个实数解。

　　f(x)=0有实根(等价与y=f(x))与x轴有交点(等价与)y=f(x)有零点

　　所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点

　　注意：

　　1、这里所说若f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内方程f(x)=0至少有一个实数解指出了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解；

　　2、若f(a)f(b)0，且y=f(x)在(a，b)内是单调的，那么，方程f(x)=0在(a，b)内有唯一实数解；

　　3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；

　　4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)0， f(4) 0，f(-2) f(4)

　　5、缺少条件在[a，b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)0但没有零点。

　　四、知识应用

　　例2：已知f(x)=3x-x2 ，问方程f(x)=0在区间[-1，0]内没有实数解?为什么?

　　解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线， 因为

　　f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/30， f(0)=30-(0)2 =-10，

　　所以f(-1) f(0) 0，在区间[-1，0]内有零点，即f(x)=0在区间[-1，0]内有实数解

　　练习：求函数f(x)=lnx+2x-6 有没有零点?

　　例3 判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于5，一个小于2、

　　解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1，有

　　f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1

　　f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1

　　又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在(5，+)内有一个交点，在( -，2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解，且一个大于5，一个小于2、

　　练习：关于x的方程2x2-3x+2m=0有两个实根均在[-1，1]内，求m的取值范围。

　　五、课后作业

　　p133第2，3题

数学函数的教案16

　　教学目标

　　1. 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力。

　　2. 理解反比例函数的概念，会列出实际问题的反比例函数关系式。

　　3. 使学生会画出反比例函数的图象。

　　4. 经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质。

　　教学重点

　　1、 使学生了解反比例函数的表达式，会画反比例函数图象

　　2、 使学生掌握反比例函数的图象性质

　　3、 利用反比例函数解题

　　教学难点

　　1、 列函数表达式

　　2、 反比例函数图象解题

　　教学过程

　　教师活动

　　一、作业检查与讲评

　　二、复习导入

　　1.什么是正比例函数?

　　我们知道当

　　(1) 当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)

　　(2) 当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab=s(s是常数)

　　创设问题情境

　　问题1：小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集，回来时让小华乘坐公共汽车，用的时间少了。假设自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系。

　　分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式。

　　设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时.因为在匀速运动中，时间=路程÷速度，所以

　　从这个关系式中发现：

　　1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数。即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大.

　　2.自变量v的取值是v>0.

　　问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式。

　　分析 根据矩形面积可知

　　xy=24，即

　　从这个关系中发现：

　　1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数。即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；

　　2.自变量的取值是x>0

　　三、新课讲解

　　上述两个函数都具有的形式，一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function).

　　说明

　　1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y=kx，即，k是常数，且k≠0；反比例函数，则xy=k，k是常数，且k≠0。可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系

　　2.反比例函数的解析式又可以写成：( k是常数，k≠0)。

　　3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k即可

　　实践应用

　　例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数?

　　(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的.一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；

　　(2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；

　　(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.

　　(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式。

　　例2 当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式。

　　例3 将下列各题中y与x的函数关系与出来.

　　(1)，z与x成正比例；

　　(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；

　　(3)y与2z成反比例，z与成正比例；

　　例4 已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=2.求x=1.5时y的值

　　分析 因为y与 x2成反比例，所以设，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出y的值。

　　例5 已知y=y1+y2， y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x=2与x=3时，y的值都等于19。求y与x间的函数关系式。

　　小结

　　一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function)。

　　要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定。

　　练习2

　　1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数?

　　(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；

　　(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；

　　(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；

　　(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米

　　2.已知y与x-2成反比例，当x=4时，y=3，求当x=5时，y的值.

　　3.已知y=y1+y2， y1与成正比例，y2与x2成反比例.当x=1时，y=-12；当x=4时，y=7.(1)求y与x的函数关系式和x的取范围；(2)当x=时，求y的值。

　　4.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm

　　(1)写出用高表示长的函数式；

　　(2)写出自变量x的取值范围；

　　(3)当x=3cm时，求y的值

　　5.试用描点作图法画出问题1中函数的图象。

　　上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线.那么它是怎么样的曲线呢?本节课，我们就来讨论一般的反比例函数(k是常数，k≠0)的图象，探究它有什么性质。

　　二、探究归纳

　　1.画出函数的图象。

　　解 1.列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

　　2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(-6，-1)、(-3，-2)、(-2，-3)等.

　　3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支.这两个分支合起来，就是反比例函数的图象。

　　上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)。

　　提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?

　　画出反比例函数的图象

　　1.这个函数的图象在哪两个象限?和函数的图象有什么不同?

　　2.反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内?由什么确定?

　　3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化?有什么规律?

　　反比例函数有下列性质：

　　(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

　　(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。

　　注 1.双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；

　　2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称。

　　以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义?

　　在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少。

　　在问题2中反映了在面积一定的情况下，饲养场的一边越长，另一边越小。

　　三、实践应用

　　例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值.

　　分析 由反比例函数的定义可知： ，又由于图象在二、四象限，所以m+1<0，由这两个条件可解出m的值。

　　解 由题意，得 解得.

　　例2 已知反比例函数(k≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx-k的图象经过的象限。

　　例3 已知反比例函数的图象过点(1，-2)。

　　(1)求这个函数的解析式，并画出图象；

　　(2)若点A(-5，m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?

　　例4 已知函数为反比例函数。

　　(1)求m的值；

　　(2)它的图象在第几象限内?在各象限内，y随x的增大如何变化?

　　(3)当-3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值。

　　例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米。

　　(1)写出用高表示长的函数关系式；

　　(2)写出自变量x的取值范围；

　　(3)画出函数的图象。

　　说明 由于自变量x>0，所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支。

　　小结

　　本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质.

　　1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola).

　　2.反比例函数有如下性质：

　　(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

　　(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。

数学函数的教案17

　　一、教材分析

　　本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a>0和a<0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。

　　二、学情分析

　　本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。

　　三、教学目标

　　(一)知识与能力目标

　　1. 经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程；

　　2. 能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。

　　(二)过程与方法目标

　　通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。

　　(三)情感态度与价值观目标

　　1. 经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法；

　　2. 在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。

　　四、教学重难点

　　1.重点

　　通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。

　　2.难点

　　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。

　　五、教学策略与 设计说明

　　本节课主要渗透类比、化归数学思想。对比一般式和顶点式的区别和联系；体会式子的恒等变形的重要意义。

　　六、教学过程

　　教学环节(注明每个环节预设的时间)

　　(一)提出问题(约1分钟)

　　教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么?那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢?图像又如何?

　　学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。

　　目的：由旧有的知识引出新内容，体现复习与求新的关系，暗示了探究新知的方法。

　　(二)探究新知

　　1.探索二次函数y=0.5x2-6x+21的函数图像(约2分钟)

　　教师活动：教师提出思考问题。这里教师适当引导能否将次一般式化成顶点式?然后结合顶点式确定其顶点和对称轴。

　　学生活动：讨论解决

　　目的：激发兴趣

　　2.配方求解顶点坐标和对称轴(约5分钟)

　　教师活动：教师板书配方过程：y=0.5x2-6x+21=0.5(x2-12x+42)

　　=0.5(x2-12x+36-36+42)

　　=0.5(x-6)2+3

　　教师还应强调这里的配方法比一元二次方程的配方稍复杂，注意其区别与联系。

　　学生活动：学生关注黑板上的讲解内容，注意自己容易出错的地方。

　　目的：即加深对本课知识的`认知有增强了配方法的应用意识。

　　3.画出该二次函数图像(约5分钟)

　　教师活动：提出问题。这里要引导学生是否可以通过y=0.5x2的图像的平移来说明该函数图像。关注学生在连线时是否用平滑的曲线，对称性如何。

　　学生活动：学生通过列表、描点、连线结合二次函数图像的对称性完成作图。

　　目的：强化二次函数图像的画法。即确定开口方向、顶点坐标、对称轴结合图像的对称性完成图像。

　　4.探究y=-2x2-4x+1的函数图像特点(约3分钟)

　　教师活动：教师提出问题。找学生板演抛物线的开口方向、顶点和对称轴内容，教师巡视，学生互相查找问题。这里教师要关注学生是否真正掌握了配方法的步骤及含义。

　　学生活动：学生独立完成。

　　目的：研究a<0时一个具体函数的图像和性质，体会研究二次函数图像的一般方法。

　　5.结合该二次函数图像小结y=ax2+bx+c(a≠0)的性质(约14分钟)

　　教师活动：教师将y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。确定函数顶点、对称轴和开口方向并着重讨论分析a>0和a<0时，y随x的变化情况、抛物线与y的交点以及函数的最值如何。

　　学生活动：仔细理解记忆一般式中的顶点坐标、对称轴和开口方向；理解y随x的变化情况。

　　目的：体会由特殊到一般的过程。体验、观察、分析二次函数图像和性质。

　　6.简单应用(约11分钟)

　　教师活动：教师板书：已知抛物线y=0.5x2-2x+1.5，求这条抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴图像和y轴的交点坐标并确定y随x的变化情况和最值。

　　教师巡视，个别指导。教师在这里可以用两种方法解决该问题：i)用配方法如例题所示；ii)我们可以先求出对称轴，然后将对称轴代入到原函数解析式求其函数值，此时对称轴数值和所求出的函数值即为顶点的横、纵坐标。

　　学生活动：学生先独立完成，约3分钟后讨论交流，最后形成结论。

　　目的：巩固新知

　　课堂小结(2分钟)

　　1. 本节课研究的内容是什么?研究的过程中你遇到了哪些知识上的问题?

　　2. 你对本节课有什么感想或疑惑?

　　布置作业(1分钟)

　　1. 教科书习题22.1第6，7两题；

　　2. 《课时练》本节内容。

　　教学反思

　　在教学中我采用了合作、体验、探究的教学方式。在我引导下，学生通过观察、归纳出二次函数y=ax2+bx+c的图像性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是知识回顾；第二部分是学习探究；第三部分是课堂练习。从当堂的反馈和第二天的作业情况来看，绝大多数同学能掌握本节课的知识，达到了学习目标中的要求。

　　我认为优点主要包括：

　　1.教态自然，能注重身体语言的作用，声音洪亮，提问具有启发性。

　　2.教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。

　　3.板书字体端正，格式清晰明了，突出重点、难点。

　　4.我觉的精彩之处是求一般式的顶点坐标时的第二种方法，给学生减轻了一些负担，不一定非得配方或运用公式求顶点坐标。

　　所以我对于本节课基本上是满意的。但也有很多需要改进的地方主要表现在：

　　1.知识的生成过程体现的不够具体，有些急于求成。在学生活动中自己引导的较少，时间较短，讨论的不够积极；

　　2.一般式图像的性质自己总结的较多，学生发言较少，有些知识完全可以有学生提出并生成，这样的结论学生理解起来会更深刻；

　　3.学生在回答问题的过程中我老是打断学生。提问一个问题，学生说了一半，我就迫不及待地引导他说出下一半，有的时候是我替学生说了，这样学生的思路就被我打断了。破坏学生的思路是我们教师最大的毛病，此顽疾不除，教学质量难以保证。

　　4.合作学习的有效性不够。正所谓：“水本无波，相荡乃成涟漪；石本无火，相击而生灵光。”只有真正把自主、探究、合作的学习方式落到实处，才能培养学生成为既有创新能力，又能适应现代社会发展的公民。

　　重新去解读这节课的话我会注意以上一些问题，再多一些时间给学生，让他们去体验，探究而后形成自己的知识。