小学五年级数学《点阵中的规律》教案

小学五年级数学《点阵中的规律》教案（最新5篇）

小学五年级数学《点阵中的规律》教案1

　　教学内容：北师大版五上第五单元《点阵中的规律》P82-83

　　教学目标：

　　1、在活动中，通过观察前后图形中点的变化规律，推理得出后续图形中点的数量，体会到图形与数的联系，感受数学均衡美。

　　2、培养学生推理、观察、概括能力。

　　教学重点：引导学生发现与概括规律。

　　教学难点：概括规律。

　　教学过程：

　　一、认识点阵：

　　师：同学们，你们都知道自然数分成奇数和偶数，最早进行这样的划分的数学家叫毕达哥拉斯，他非常喜欢数学，他研究数学可不是为了考试和分数，就是因为喜欢，他对研究数的特征非常着迷，研究方法也很独特，他是把数想象成小石子或小圆点，摆成图形来研究数。今天我们也来看看吸引毕达哥拉斯的“点阵”和数之间到底有什么样的联系。

　　（板书课题：点阵中的规律）。

　　二、研究点阵：

　　（一）出示点阵，提出问题

　　····

　　·······

　　·········

　　··········

　　师：这就是他当时研究过的一组正方形点阵，有规律吗？如果由你来摆这组正方形点阵，你想怎么摆呢？

　　（二）探索点阵中的规律

　　1、研究正方形点阵的规律

　　（1）观察这些正方形点阵，我们可以得到哪些数？拿出草稿本思考并写下来。

　　（2）你能写出算式表示点阵中点的个数吗？

　　以小组为单位，讨论交流，巡视学生完成情况。

　　（3）小组汇报研究结果。

　　（4）尝试画出第五个图形，延伸到第六个图形。

　　展示学生成果。

　　（5）还有不同的算式表示这些点数吗?

　　学生思考。

　　（6）如果学生回答不出，教师演示摆的方法，从摆法上引导学生用算式表示点数。

　　·····

　　·····

　　·····

　　·····

　　·····

　　（7）：摆法不同，得到的算式也不相同，每组算式的特点，也就是正方形点阵的规律。有均衡的，有对称的，这就是数学之美。

　　2、研究长方形的点阵规律

　　（1）出示P83“试一试”第一题图

　　·····

　　·········

　　············

　　··············

　　（1×2）（）（）（）

　　（2）师：你能找出这些长方形点阵有什么规律吗？

　　你能画出第五个点阵吗？

　　（3）小组讨论、交流。

　　（4）汇报小组的`发现，展示所画的第五个点阵。

　　师：同学们真善于发现和创造规律。除了正方形和长方形点阵外，还有很多其它形状的点阵。

　　3、研究三角形点阵的规律

　　（1）出示三角形点阵图

　　·

　　···

　　······

　　··········

　　（1）（3）（6）（10）

　　（2）师：①这是一组什么形状的点阵？

　　②你能用算式表示你发现的规律吗？

　　③根据点阵规律，画出第五个点阵。

　　（3）展示根据你发现的规律画出的第五个点阵。

　　（三）：

　　其实，点阵是灵活多样的，每个点阵都有自己的规律，只要我们找到规律，就能推出后面点阵的点数。借助点阵图，不同的观察方法，可以得到不同的数的规律，正所谓“远看成岭近成峰，远近高低各不同”。

　　三、解决点阵问题：

　　（一）学生观察课本P83练一练第2题图，小组内说说他们的规律，然后小组合作画出下一个图形。

　　（二）汇报，展示，说说规律。

　　四、设计点阵：

　　（一）师：刚才，我们共同研究了一些点阵的规律。现在，你想自己设计一个点阵吗？接下来，我们就以小组为单位，开展一个点阵设计大赛，好吗？

　　（二）出示要求：

　　点阵设计大赛：

　　1、设计时间：5分钟

　　2、设计要求：

　　（1）小组合作，共同设计一幅有规律的、美观的点阵图，画出前4个点阵，并用算式表示每个点阵的数量。

　　（2）每组派代表说明设计的方法及点阵中的规律，并展示作品。

　　小组内自由设计，展示。

　　五、感受点阵：

　　师：同学们个个都是个出色的小设计师！点阵的运用，在生活中也十分常见。比如：我们常玩的五子棋，围棋，跳棋都是点阵的运用。一些大型活动的展示标志，广场上美丽的花坛，由点阵构成的各种图案等等。可以说，生活中，处处离不开点阵的规律，离不开数学的知识。那么，就让我们用希腊数学家普洛克拉的一句话结束今天的学习：

　　哪里有数学，哪里就有美！数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像。

小学五年级数学《点阵中的规律》教案2

　　我说课的内容是北师版小学数学第九册第五单元的最后一课《点阵中的规律》。我将这次说课分为以下几个部分：

　　第一部分：教材分析

　　1、教材地位作用

　　尝试与猜测这部分内容是《标准》中的数形结合思想在教材中的具体体现，它从“中国古代名题”延伸到“普遍联系找规律”，其中内容广，想法深，理念新是教材的一大特色。《点阵中的规律》看起来似乎对学生很陌生，与其他知识没有必然的联系，是一节相对独立的数学活动课，其实在前面的学习中学生已经接触过一些，如：一年级的找规律填数，二年级的按规律接着画，以及四年级探索图形的规律，都是逐步将数形结合在一起，将知识进行进一步提升。使学生通过观察、推理等活动，在生动的情景中找出图形的变化规律，培养学生的观察、想象与归纳概括能力，提高学生合作交流与创新的意识。

　　2、教学目标

　　基于以上的认识和新课标对第一学段的数学学科要求，我从“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三个方面制定本课的教学目标：

　　（1）、让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，从而探索出点阵中的规律，并体会到图形与数的联系；

　　（2）、通过活动教学培养了学生归纳、概括和逻辑抽象思维的能力，让学生感受数学与生活的密切联系。

　　（3）、增强学生审美观念，培养学生的审美能力。

　　3、教学重点：引导学生发现和概括点阵中的规律。

　　4、教学难点：寻求多种解决问题的方法，体会图形与数的联系。

　　第二部分：教法学法设计

　　教法安排

　　本节课我运用了活动教学形式，通过创设找朋友的游戏情境，给学生提供较大的思维空间，大胆放手让学生主动去探索新知，引导他们通过独立思考、组内合作学习，以及组间相互汇报、交流、提问、评价等方式，归纳总结出中的规律，充分体会图形与数的联系。

　　学法体现

　　五年级学生善于动手操作、探究能力较强，根据这一年龄特点，将自主探究和小组合作进行综合运用，让学生通过想一想，说一说，粘一粘等形式，体验自主学习，探究新知，尝到发现数学的滋味。

　　第三部分：设计思路

　　为了体现以学生为本的课堂教学理念，针对瞬息万变的课堂教学实际，我对教学内容进行了理性的重组：首先利用常见的五子棋、跳棋让学生理解什么是点阵，再通过生动有趣的找朋友活动，为学生呈现了形似正方形、长方形、三角形的部分点阵图，让学生发现概括点阵中的规律，从而计算出后面图形点的数量。

　　其次，为学生演示了点阵的划分方法，引导学生发现新的规律，并列出算式，让他们体会到点阵研究数的形式可以是多样的，并通过独立思考和合作交流完成练习，最后为学生呈现了生活中的点阵。

　　第四部分：教学程序

　　（一）课始激趣，兴趣盎然

　　出示学生熟悉的五子棋、跳棋，让他们直观地看到：象这样有规律排列的点子图在数学中可称之为“点阵”，从而引出课题：点阵中的规律。

　　（二）课中参与，兴趣正浓

　　1、师贴出正方形、长方形、三角形点阵图中的部分图形，将其余图形发给小组内的学生，请他们玩找朋友游戏，将手中的图形在黑板上对号入座。（先独立思考，再小组交流）

　　2、请小组派代表按点阵中的规律贴图，并说一说想法。

　　3、让学生进一步观察思考，通过互评将规律补充完整的同时，教师适时引导：“想计算每个点阵中有多少个点子该怎么办呢？”“如果每个点阵中点的个数再多一些，该怎样快速求出点阵中点的个数呢？”

　　4、以正方形点阵为例，鼓励他们用多种方法计算的同时，引导学生将总结的规律抽象成算式。

　　5、请学生运用发现的这一规律说出第五个正方形点阵有多少点，试着画出图形，并说一说想法。

　　6、同理，请学生总结出长方形点阵的规律，并列式计算。

　　7、请学生继续寻找三角形点阵的规律，并写出算式。适时引入划分法，让他们说说三角形点阵有没有其它的划分方法。

　　8、让学生用划分法将第五个正方形点阵图进行划分，并根据学生的课堂生成情况灵活的出示“折线划分法”，使学生体会到通过点阵研究数的形式可以是多样的。教育论文在线

　　（三）课末设疑，兴趣犹存

　　1、按下面的方法划分点阵中的点，并填写算式。

　　（请学生独立完成，通过图中的划分可以轻松列出算式。）

　　2、观察下列图形的规律并填空。

　　（此题是总复习中练习，让学生寻找规律的同时，也培养了学生的.想象能力。）

　　3、观察下图中已有的几个图形，按规律画出一个图形。

　　（为了使有困难的学生生动地理解图形变化的规律，我采用了不同颜色标出了每次的变化情况。）

　　第五部分：拓展应用

　　为了使学生体验到数学知识与生活的密切联系，设计了拓展应用，运用课件为学生展示了点阵在生活中的实际应用。

　　课堂小结：

　　引导学生回忆总结：“通过这节课的学习，有什么收获？它对我有什么帮助？这节课表现的怎样？”或者反思探究过程中的问题，达到思想共享的目的。

　　（这种开放式的总结，给学生提供了自我感悟、自评与互评的时间和空间，有利于培养学生的反思意识。）

　　这节课我本着“充分预设，关注生成”的态度，让学生自主的探究，解决数学问题，获取数学经验”。在现实情境中，有意识地采用“自主探究，合作交流”等活动方式，让学生亲身经历发现规律、归纳概括的全过程，同时，为学生提供了轻松愉悦的教学环境，让他们学习有价值的数学，不同的学生在数学上得到不同的发展。

小学五年级数学《点阵中的规律》教案3

　　教材内容：

　　北师大版五年级数学上册第82-83页内容。

　　《点阵中的规律》属于尝试与猜测部分的内容，这部分内容是《新课程标准》中的数形结合思想在教材中的具体体现，看起来似乎对学生很陌生，与其他知识没有必然的联系，是一节相对独立的数学探究课，其实在前面的学习中学生已经接触过一些，如：一年级的找规律填数，二年级的按规律接着画，以及四年级探索图形的规律，都是逐步将数形结合在一起，将知识进行进一步提升。使学生通过观察、推理等活动，找出图形的变化规律，培养学生的观察、推理与归纳概括能力。

　　教学目标：

　　（1）结合具体的图形，认识“点阵”，了解点阵的基本知识。

　　（2）能在具体的观察活动中，发现点阵中隐藏的规律，体会图形与数的联系。

　　（3）培养学生观察、概括与推理的能力。

　　教学重点：

　　通过观察活动，引导学生发现和概括点阵中的规律。

　　教学难点：

　　寻求多种解决问题的方法，体会图形与数的联系。

　　教法学法：

　　教法安排：本节课我运用了活动教学形式，给予更多的空间让学生主动去探索新知，引导他们通过独立思考、相互交流，最后归纳出点阵中的规律。

　　学法安排：将自主学习与老师引导相结合，让学生通过自主探究，结合老师的引导，寻求规律，尝试发现数学的乐趣。

　　教学过程：

　　第一环节，创设情景，导入新课

　　首先，出示北京奥运会开幕式击缶方队录像，通过震撼、整齐的击缶方队去抓住学生的注意力；接着出示击缶方阵图，随即告诉学生：如果我们将每一个队员看做成一个点，就形成了点子图，这样一个点子图，早在2000多年前古希腊数学家们就给它取名叫“点阵”，而且在这些点阵中还隐藏着许多的规律，这样一来不仅把方队（方阵）变成点阵，而且自然地引出了新课，还让学生感到点阵并不神秘，点阵就在我们生活中。

　　第二环节：探究新知，总结规律。

　　出示一组点阵图，让同学们自己先观察这个点阵图，根据图形特征来思考第五幅图该怎么画（学生动手操作）。学生通过动手操作并从中探索规律，然后汇报，由我引导出最终的结果：第几个点阵就是几×几，如果用n来代替点阵图的序数，那么可以将规律表示为n×n。

　　刚才用的是从点阵图的外形特征出发，发现并找到解决外形点阵中点的特点的方法，如果现在我们换个角度，还能不能找出点阵的规律呢？引导学生“斜着看”。引导学生用数学表达式来表示点阵中所有点的数目，并依此写出后几个点阵图点数的数学表达式，总结规律：第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1。

　　做到这还不够，继续引导学生再换个角度，看有没有新发现？随即引导学生“拐弯看”，让学生根据折线划分后的点阵图自己探究规律并用数学表达式总结规律。即：第几个点阵图就是从1开始加连续的几个奇数。第n个就是要从1加到2n-1（在这可能学生对2n-1很难概括出来，须适时引导）

　　第三环节：应用方法，解决问题

　　试一试（第一题）：在本道题的.规律发现中，要让学生自己感觉图形的特点，并结合1×2的含义完成练习，完成练习后让学生再思考为什么你写出这样的算式。再让学生思考这组点阵图的规律，规律总结为：第n个点阵图中的点阵数目是n×（n+1）。

　　试一试（第二题），本道题直接让学生独立完成，完成后评讲，为什么可以得到15的结果，学生汇报后，总结一下，第n个点阵图的点阵数目是1+2+3+…+n。

　　第四环节：课堂回顾，总结收获

　　让同学们回顾本节课内容：

　　1、点阵中的规律可以从点阵的形状入手；

　　2、从不同的观察点，用不同的划分的方法也可以发现点阵的规律；

　　3、点阵的规律用算式来表达更加的方便。

　　最后，为了使学生体验到数学知识与生活的密切联系，设计了拓展应用，运用课件为学生展示了点阵在生活中的实际应用。并以古希腊数学家的一句名言来结束本堂课。

　　各位领导、各位老师，以上是我对本课的教学设计；恳请各位老师批评指导。我的说课完毕，谢谢大家！

小学五年级数学《点阵中的规律》教案4

　　教学目标：

　　知识与技能：能观察发现点阵中的规律，体会“图形与数”的联系。

　　过程与方法：发展归纳和概括的能力。

　　情感态度与价值观：感受“数形结合”的神奇之美，并获得“我能发现”之成功体验。

　　教学重点：

　　探究发现点阵中的规律。

　　教学难点：

　　独立发现同一点阵中不同的规律。

　　教学过程：

　　(教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要教学环节、教师活动、学生活动、设计意图很清楚地再现。)

　　一、创设问题情境

　　指导学生观察所提供图

　　形的基本形状。

　　1、提供的四个图形的均是三角形，第一个图形除外。

　　板书：1点字的个数是如何增加的?

　　2、观察四个图形均是正方形(第一个除外)你能写出算式吗?

　　1×1 2×2 3×3 4×4 □×□

　　3、第三、四组的四个图形请示去自己去探索，发现规律。

　　观察图形，思考，反馈。

　　学生探索、发现。

　　设计意图：随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生不用数，已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时，教师没有急于让学生发表自己的看法，而是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。

　　二、小组合作探究。

　　指导学生观察前后图

　　学生观察提供的第一组点字图，交流点字的个数是如何增加的，然后用算式表示出来。

　　学生观察第二组四个图形，点字的个数有什么变化，

　　在小组内说一说，然后用算式表示出来。

　　学生独立观察思考这两组图形点不变化的情况，有什么规律。

　　引导学生观察所给图形的`基本形状及点字变化情况。

　　学生观察、思考、汇报。学生谈体会

　　设计意图：让学生寻找正方形点阵的不同划分方法，把教材分散处理的关于正方形点阵的不同划分方法集中探究，便于学生思维的延续和拓展，不至于出现思维上的断层。这样设计既符合学生的探究心理和学习习惯，又给学生提供了自主探究的空间，体现了学生学习的自主性，还用另一种方式解读了“练一练”中的第一题。培养了学生从不同的角度去发现问题，总结概括规律的能力。

　　三、汇报交流质疑问难。

　　学生通过观察前后图形中点的变化情况，从而推导出后续图形点的数量。引导学生观察前后图形点的个数是如何增加的。

　　1、点字图是三角形的点字个数后一层比前一层多。

　　2、正文形、长方形点子数是成倍增加。

　　3、第(4)组图点子数是怎样变化的。

　　4、指导学生观察前后的算式。

　　仅观察图形并不能直接发现规律，并与图形对应起来。学生观察读图，思考。

　　议论交流。

　　设计意图：学生到此，已经很轻松地用语言表述出自己的想法：这样的三角形点阵的点数是从1开始的连续自然数的和。而对于第四种划分方法，是我没有预想到的。有一个孩子却用非常强烈地要求，表达了自己的这种划分方法，并且说出了这个算式依次递加4的规律。我真的很庆幸给了他一个机会，他用如此精彩的回答回报了我，也许课堂教学永远的魅力就在于这预设外的惊喜吧。

　　四、练习巩固。

　　第1题，有两小题都是根据图形的变化的特点，推理出后续的图形。

　　第二题，是观察图形排列的变化

　　学生先独立思考：各图形点子个数是如何增加的，然后小组内交流，最后全班进行交流。

　　学生补充完算式，找出规律再写出一个算式来。

　　先让学生独立思考，然后组织学生进行交流。

　　通过这样的观察，也能知道后面图形排列的特点，从而计算出后面图形点的数量。

　　根据图形变化发现这一变化规律。

　　学生独立思考后小组交流。

　　学生观察并找出其中规律。

　　设计意图：在这里不需要学生说出多么专业的、深奥的数学方法，只是引导学生对自己探究性学习方法的一个总结，尽管语言可能不够简练，总结不够到位，只要学生是用自己的语言在表述自己的想法，就是对学生思维训练层次的一个提升，一种飞越。

　　五、总结概括

　　这节课你有什么收获?讲给同学们听听。

　　六、作业

　　1、练一练2题

　　2、你在生活中那里发现过有规律的东西?用你喜欢的方法记录表示它们的规律。

　　学生思考，交谈，总结。

　　设计意图：把学生的课堂学习延伸到课外，链接到学生已有的相关生活经验，使得原本陌生的数学知识与学生的日常生活自然对接，体现了数学与生活的密切联系。学生课后的自主设计作业，给了学生极大的创造空间，真正体现数学来源于生活，又应用于生活。

　　板书设计：

　　点阵中的规律

　　正方形数、相同数

　　连续奇数

　　连续自然数——倒加

　　1 =1×1 4 =2×2 =1+3 =1+2+1

　　9 =3×3 =1+3+5 =1+2+3+2+1

　　16 =4×4 =1+3+5+7 =1+2+3+4+3+2+1

　　25 =5×5 =1+3+5+7+9 =1+2+3+4+5+4+3+2+1

小学五年级数学《点阵中的规律》教案5

　　目标预设：

　　1、学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，通过探索正方形点阵和长方形点阵的的规律，发现正方形数、长方形数的特点, 体会到图形与数的联系，感受数学的趣味；

　　2、学生在探索感悟中体会到以形助数的直观生动性，尝试利用图形解决一些简单的问题；

　　3、引导学生从不同的角度看事物，增强学生解决问题的信心。

　　教学重点：

　　通过探究点阵中的规律发现数的特征。

　　教学难点：

　　体会图形与数的联系，并灵活主动的解决问题。

　　学情分析：

　　《点阵中的规律》一课是数形结合思想在教材中的具体体现，通过一年级的找规律填数，二年级的按规律接着画，四年级探索图形的规律，学生已有一些初步感受和经历，但学生数形结合的主动性和操作能力还较弱。本节课主要通过对正方形、长方形点阵的研究，生动具体认识相同数（平方数）之积、连续数之积的特点，并试着解决一简单问题。五年级学生对数与图形已有较好的学习基础，数学教材中对因数、质数、合数等抽象概念的教学都是通过数形结合的思想方法来引导学生学习的，学生在解决问题时也通过画线段图、韦恩图、示意图以及表格等把数量关系转化为形象的数量关系，所以五年级的学生是具备用数形结合的.方法分析问题的基础的。

　　预设流程：

　　一、谈话导入，感受点阵

　　1、学生思考在每一册的数学里，除了数还有什么内容，体现图形的重要性。

　　2、学生说出认识的图形。

　　3、引出并感受生活、数学里的点阵。

　　4、揭示课题。

　　二、 探究正方形点阵，发现平方数的特点

　　1、出示点阵，提出问题

　　⑴每个点阵可以看成什么图形？

　　⑵每个点阵分别有多少个点？

　　2、探索点阵中的规律

　　师：谁愿意来谈谈第一个问题？

　　（可能会有学生认为第一个点阵不是正方形，引导学生认识到：边长是由几个点组成的，每个点可代表一个单位长度，点均匀分布，所以第一个点阵可看成是边长是一的点阵）

　　师：第二个问题呢？

　　生能很快说出点数。

　　师：你是怎么得到每个点阵中点的个数的？

　　（可能会有数与算两种方法，要求算的学生说出算式）

　　引导学生认识到算正方形的面积就得到了点数。

　　师：那我们看看这些从点阵中得到的数，你觉得它们有什么特点吗？

　　3、借点阵研究平方数的特点

　　生：这些数都可以写成两个相同的数相乘。

　　师：对，它们都是两个相同数之积，在数学里叫也正方形数或平方数。

　　学生想第五个点阵的样子，再把它画出来。对画出的点阵进行划分，根据学生生成发现正方形数的主要特点。

　　4、小结：平方数有什么特点？看到36这个数，你会想到一个什么样的点阵？根据这个图形，你能把36写成哪些有趣的算式？如果你以后忘记了平方数的特点，你会怎么办？（有意识引导学生回顾方法）

　　三、自主探究长方形点阵，发现长方形数的特点

　　1、出示长方形点阵。

　　2、这是一个什么点阵？你能够根据你发现的规律，把第五个点阵图画出来吗？

　　3、谁能快速的告诉我，每一个点阵中有多少个点？

　　4、你是怎么算出来的？

　　5、这些数还是相同数相乘吗？有什么特点？

　　6、你能象刚才研究正方形点阵一样，通过研究长方形点阵的特点，发现连续数相乘的积的特点吗？（自主研究，汇报交流）

　　7、小结

　　三、拓展提高，解决问题

　　1、感受点阵的数学、生活魅力。

　　2、 数形结合，解决问题。

　　板书设计：

　　点阵中的规律

　　正方形数 相同数 连续奇数 连续自然数—倒加

　　1 =1×1

　　4 =2×2 =1+3 =1+2+1

　　9 =3×3 =1+3+5 =1+2+3+2+1

　　16 =4×4 =1+3+5+7 =1+2+3+4+3+2+1

　　25 =5×5 =1+3+5+7+9 =1+2+3+4+5+4+3+2+1

　　长方形数 ？

　　教后反思：

　　在对教材进行了深入的分析、挖掘和整合后，结合本次活动研究主题，把《点阵中的规律》分两课时进行，本课时以“数形结合”为主线，着重让学生通过研究正方形点阵、长方形点阵，发现相同数之积和连续数之积的特点；然后让学生在练习中感受到图形的直观形象，数的简洁细致；最后激发学生运用数形结合的思想解决一些有挑战性的问题。学习形式和课堂呈现上，高段学生对学习“有用”的数学应该更加感兴趣，所以，这节课主要用数学本身的内容来吸引学生，在研究几何形数的过程中丰富学生对数学发展的认识，感受数学文化的魅力。教学主要分三个层次：在教师帮助下研究正方形点阵，发现正方数的特点；运用这种研究方法自主研究长方形点阵；运用数形结合思想解决实际问题，感受数学的魅力。

　　在课堂实践中，给了学生极大的探索自由，学生的思维非常活跃，对正方形点阵进行了多种角度的分析，深刻体悟到正方形数的奥妙，也获得了“借助点阵分析数”的方法。虽然课堂内未能按预设让学生对长方形数自主探索（时间不够，学生对正方形点阵很着迷，研究了很久），但相信他们已经有了自主发现的能力，课后，定能运用学到的研究方法去独立地研究长方形数的特点。